Elevare al quadrato ambo i membri.

[AnalisiZero]

Ciao,
Come si spiega che elevando ambo i membri (positivi) di una disuguaglianza si ottiene una disuguaglianza equivalente (cioè con lo stesso insieme soluzione) a quella di partenza? Non si moltiplica per uno stesso numero...

Grazie.

[axpgn]

In effetti si dimostra più facilmente con l'assurdo, anche se con lo stesso "giro" logico ...

Ipotesi:

$a^2>b^2 ^^ a>0 ^^ b>0$


Tesi:

$a>b$


Dimostrazione per assurdo (cioè aggiungiamo come ipotesi la negazione della tesi ovvero $b>a$)

$b>a>0\ ->\ b*b>a*b>0$ e $b>a>0\ ->\ a*b>a*a>0$ quindi $b*b>a*a>0\ ->\ b^2>a^2$ ma ciò è assurdo perché contraddice l'ipotesi perciò la tesi è vera.

[AnalisiZero]

"axpgn":In effetti si dimostra più facilmente con l'assurdo, anche se con lo stesso "giro" logico ...

Ipotesi:

$a^2>b^2 ^^ a>0 ^^ b>0$


Tesi:

$a>b$


Dimostrazione per assurdo (cioè aggiungiamo come ipotesi la negazione della tesi ovvero $b>a$)

$b>a>0\ ->\ b*b>a*b>0$ e $b>a>0\ ->\ a*b>a*a>0$ quindi $b*b>a*a>0\ ->\ b^2>a^2$ ma ciò è assurdo perché contraddice l'ipotesi perciò la tesi è vera.

Ho capito.
Ma allora mi chiedo:
Perché nel testo c'è scritto " SE è $0<=x_1<=x_2$ e $0<=y_1<=y_2$ ALLORA è $x_1*y_1<=x_2*y_2$"? Se vale anche il viceversa si doveva scrivere:
"$0<=x_1<=x_2$ e $0<=y_1<=y_2$ se e solo se $x_1*y_1<=x_2*y_2$". O sbaglio?

[Ernesto011]

Qui il viceversa è falso, l'implicazione vale solo da un lato

$1000 xx1 <=40 xx50$, ma $1000>40$

[AnalisiZero]

"Ernesto01":Qui il viceversa è falso, l'implicazione vale solo da un lato

$1000 xx1 <=40 xx50$, ma $1000>40$

Ora non sto capendo nulla
Se non è vero il viceversa, allora nel caso delle due disequazioni come possono avere le stesse soluzioni?

[axpgn]

"AnalisiZero":Ora non sto capendo nulla

Perché fai una confusione pazzesca! Continui a mescolare cose diverse come se fossero uguali ...
Lo hai letto il titolo di questo thread che TU hai scritto? "Elevare al quadrato" non è una moltiplicazione qualsiasi ma con fattori ben determinati, non è la stessa cosa dell'ultimo teorema che hai scritto ... non solo, precedentemente ho scritto quali sono le due principali "manipolazioni" che puoi fare su equazioni e disequazioni in modo che rimangano equivalenti e se vai a rileggerle c'è scritto che puoi moltiplicare entrambi i membri per lo STESSO numero, non per numeri diversi (nelle disequazioni si deve tener conto anche del segno), ok?

[AnalisiZero]

"axpgn":[quote="AnalisiZero"]Ora non sto capendo nulla

Perché fai una confusione pazzesca! Continui a mescolare cose diverse come se fossero uguali ...
Lo hai letto il titolo di questo thread che TU hai scritto? "Elevare al quadrato" non è una moltiplicazione qualsiasi ma con fattori ben determinati, non è la stessa cosa dell'ultimo teorema che hai scritto ... non solo, precedentemente ho scritto quali sono le due principali "manipolazioni" che puoi fare su equazioni e disequazioni in modo che rimangano equivalenti e se vai a rileggerle c'è scritto che puoi moltiplicare entrambi i membri per lo STESSO numero, non per numeri diversi (nelle disequazioni si deve tener conto anche del segno), ok?[/quote]
Vediamo se ho capito, provo a dirla con parole mie.
In generale il teorema sul prodotto membro a membro non si può "leggere" al contrario, cioè in generale non si può dimostrare che dal prodotto membro a membro si ritorna alle singole disuguaglianze. Il caso del quadrato di entrambi i membri è un caso particolare di questo teorema in cui si ha che si può dimostrare il viceversa. Ho finalmente capito?

Grazie.