Elettrotecnica matematica

[vicwooten]

Se io ho un equazione del tipo:

A^2+L/C*A+1/LC=0 ed L=1mH e C=1mF come fa ad uscire un risultato complesso del tipo A12=-500+-866i????

[ciampax]

Sai risolverla una equazione di secondo grado? Comunque ho una domanda: siamo sicuri che l'equazione sia giusta? perché dimensionalmente non mi torna.

[vicwooten]

si,ma non capisco dove intervengano i numeri complessi perché se io faccio -b+-sqt b^2-4ac il risultato che mi viene è comunque reale.

[ciampax]

Appunto per quello mi chiedevo se l'equazione fosse scritta correttamente. Vedi, se facciamo una analisi dimensionale e indichiamo con

[math]a[/math]

l'unica ti di misura dell'incognita, allora abbiamo che i tre addendi hanno come unità di misura

[math]a^2,\ H/F\cdot a,\ 1/(\mu HF)[/math]

Dal momento che le unità devono essere uguali (non puoi sommare cavoli e patate, me lo ripeteva sempre la mia maestra) dovrebbe essere

[math]a^2=H/F\cdot a\ \Rightarrow\ a=H/F[/math]

ma anche

[math]H/F\cdot a=1/(HF)\ \Rightarrow\ a=1/H^2[/math]

e quindi dovresti avere

[math]H/F=1/H^2\ \Rightarrow\ F=H^3[/math]

e non mi pare proprio di ricordare una relazione simile tra il Farad e Henry... o sbaglio? Poi volendo possiamo fare proprio l'analisi dimensionale: se

[math][A][/math]

è la dimensione della nostra grandezza incognita e

[math][L],\ [T],\ [M],\ [J] [/math]

le dimensioni di lunghezza, tempo, massa e corrente, allora si ha per i tre addendi

[math][A]^2,\ [L]^4 [T]^{-6} [M]^2 [J]^{-4} [A],\ [T]^{-2}[/math]

e come puoi vedere da te uguagliando i vari termini, le dimensioni di A non tornano.

[vicwooten]

si l'equazione è corretta perché quella è l'omogenea associata dell'equazione differenziale del secondo ordine:

d^2I/dt^2+1/RC*dI/dt+1/CL*I=e(t)/RLC.
e quindi l'omogenea ha come soluzioni due radici complesse e cogniugate (quelle sopracitate appunto).

Aggiunto 3 minuti più tardi:

no l'eq. omogenea è A^2+1/RC*A+1/LC=0 con R=2ohm ed L e C i valori di prima!

[ciampax]

Ah ecco, lo vedi allora? Adesso dimensionalmente torna. Quindi abbiamo

[math]\lambda^2+\frac{1}{RC}\cdot\lambda+\frac{1}{CL}=0[/math]

Da cui

[math]\lambda_{1,2}=\frac{-\frac{1}{RC}\pm\sqrt{\frac{1}{R^2 C^2}-\frac{4}{LC}}}{2}=\frac{1}{2RC}\left(-1\pm\sqrt{L-4R^2C}\right)[/math]

Dentro la radice hai

[math]10^{-3}-4\cdot 4\cdot {10^{-3}}=-15\cdot 10^{-3}[/math]

che è un valore negativo (i

[math]10^{-3}[/math]

stanno ad indicare i milli Henry e milli Farad).