[Elementi di calcolo delle variazioni]Estremi Vincolati
Ciao a tutti, sto studiando un esame che si chiama Elementi di calcolo delle variazioni (sarebbe un approfondimento di alcune cose di Analisi II) e mi sono imbattuto in questo argomento del quale non riesco a capire delle cose:
Vi posto le immagini così è più semplice, non riesco a capire come si arriva alle 2 formule evidenziate in figura....
FIGURA 1
FIGURA 2
FIGURA 3
Spero che mi potrete aiutare....GRAZIe...come sempre..!!!
Vi posto le immagini così è più semplice, non riesco a capire come si arriva alle 2 formule evidenziate in figura....
FIGURA 1
FIGURA 2
FIGURA 3
Spero che mi potrete aiutare....GRAZIe...come sempre..!!!
Risposte
E' solo il teorema di differenziazione della funzione composta.
Allora.....
la spiegazione richiama in modo molto stretto il metodo del Moltiplicatori di Lagrange. Infatto ho notato subito al somiglianza.
Anzi mi sembra che questa sia la spiegazione dei Moltiplicatori di Lagrange. Cerca informazioni sui moltplicatori.
In ogni caso, [tex]\nabla F(P_0) \cdot (\phi'(t_0))=0[/tex] ti dice che:
muovendosi lungo la frontiera, si incontra un punto di massimo/minimo solo se il gradiente della funzione e' perpendicolare al vettore tangente alla frontiera.
Il vettore tangente alla frontiera lo trovi semplicemente derivando l'equazione che descrive la frontiera, il sostegno.
Se fai il prodotto scalare tra i due, e hai come risultato zero hai che il gradiente e' perpendicolare alla tangente.
Per capire come mai la condizione di perpendicolarita' indichi un massimo/minimo, immagina di muoverti lungo la frontiera.
Camminando lungo la frontiera, incontrerai le linee di livello di F. Il gradiente come e' noto e' sempre perpendicolare alle linee di livello.
Se hai a un certo punto una linea di livello che diventa tangenziale alla frontiera vuol dire che non stai "ne' salendo, ne' scendendo" rispetto ai valori di F, quindi sei su un minimo/massimo.
Per cui per avere un max/min devi avere una linea di livello tangente alla frontiera, cioe' il gradiente perpendicolare alla frontiera.
Nella spiegazione sono stati stringati, in modo che non si capisce molto.
Capisce chi ha gia' capito, quegli altri non capiscono...
Per la seconda formula non cambia il ragionamento, tranne che invece del vettore tangente hanno preso il versore tangente, ma quello che interessa e' che siano tangenti, per cui uno vale l'altro per i nostri scopi.
Spero di averti chiarito meglio le idee.
Altrimenti ti metto un disegnino semplice che aiuta, non e' difficile.
la spiegazione richiama in modo molto stretto il metodo del Moltiplicatori di Lagrange. Infatto ho notato subito al somiglianza.
Anzi mi sembra che questa sia la spiegazione dei Moltiplicatori di Lagrange. Cerca informazioni sui moltplicatori.
In ogni caso, [tex]\nabla F(P_0) \cdot (\phi'(t_0))=0[/tex] ti dice che:
muovendosi lungo la frontiera, si incontra un punto di massimo/minimo solo se il gradiente della funzione e' perpendicolare al vettore tangente alla frontiera.
Il vettore tangente alla frontiera lo trovi semplicemente derivando l'equazione che descrive la frontiera, il sostegno.
Se fai il prodotto scalare tra i due, e hai come risultato zero hai che il gradiente e' perpendicolare alla tangente.
Per capire come mai la condizione di perpendicolarita' indichi un massimo/minimo, immagina di muoverti lungo la frontiera.
Camminando lungo la frontiera, incontrerai le linee di livello di F. Il gradiente come e' noto e' sempre perpendicolare alle linee di livello.
Se hai a un certo punto una linea di livello che diventa tangenziale alla frontiera vuol dire che non stai "ne' salendo, ne' scendendo" rispetto ai valori di F, quindi sei su un minimo/massimo.
Per cui per avere un max/min devi avere una linea di livello tangente alla frontiera, cioe' il gradiente perpendicolare alla frontiera.
Nella spiegazione sono stati stringati, in modo che non si capisce molto.
Capisce chi ha gia' capito, quegli altri non capiscono...
Per la seconda formula non cambia il ragionamento, tranne che invece del vettore tangente hanno preso il versore tangente, ma quello che interessa e' che siano tangenti, per cui uno vale l'altro per i nostri scopi.
Spero di averti chiarito meglio le idee.
Altrimenti ti metto un disegnino semplice che aiuta, non e' difficile.
Ciao... Grazie per la risposta... Mi hai chiarito abbastanza le idee... Anche se non riesco ancora a capire la somiglianza con il moltiplicatore di lagrange....che su queste dispense è spiegato qualche pagina dopo queste..appena c arrivo ritorno qui e ti faccio sapere le mie impressioni...
Grazie
luca perchè dici che è il teorema d diff. Delle funz. Composte???
Grazie
luca perchè dici che è il teorema d diff. Delle funz. Composte???
Le domande in rosso che hai posto non c'entrano nulla col th dei moltiplicatori di Lagrange; ad esempio la prima che chiedi è esattamente la riga sopra scritta usando la differenziazione della funzione composta.
Sisi... Ho capito luca... Mi sono rivisto l argomento e mi trovo... Peró non riesco a capire come si fa ad arrivare dalla formula precedente alla 1.2 , alla 1.2 stessa.... Cioè perchè posso dividere per il modulo di $phi'(t0)$
Ma come non c'entra coi moltiplicatori... ??
Da Wikipedia
Nei problemi di ottimizzazione, quello dei moltiplicatori di Lagrange (così chiamati da Joseph Louis Lagrange) è un metodo per trovare i massimi e i minimi di una funzione di più variabili soggetta a uno o più vincoli: è lo strumento di base nell'ottimizzazione non lineare vincolata.
Nel problema di f.schiano, la funzione e' [tex]f:X \subseteq \mathbb{R} ^2 \rightarrow \mathbb{R}[/tex] e il vincolo e' la frontiera [tex]\partial X[/tex]
Il moltiplicatore di Lagrange non fa altro che calcolare il gradiente della frontiera [tex]\partial X[/tex] e della funzione [tex]f[/tex] , quindi cerca uno scalare [tex]\lambda[/tex] tale che i due vettori siano uguali.
In pratica cerca la condizione di parallelismo tra i due gradienti.
Siccome il vettore tangente e' normale al gradiente, altro non e' che imporre la perpendicolarita' tra il [tex]\nabla f[/tex] e [tex]\partial X /\partial t[/tex].
Non e' vero (in generale) che
[tex]f'(t_0) = \nabla f (\varphi'(t_0))[/tex]
[tex]f'(t_0) = \nabla f[/tex]
e
[tex](\varphi'(t_0))[/tex]
sono due cose diverse.
Da Wikipedia
Nei problemi di ottimizzazione, quello dei moltiplicatori di Lagrange (così chiamati da Joseph Louis Lagrange) è un metodo per trovare i massimi e i minimi di una funzione di più variabili soggetta a uno o più vincoli: è lo strumento di base nell'ottimizzazione non lineare vincolata.
Nel problema di f.schiano, la funzione e' [tex]f:X \subseteq \mathbb{R} ^2 \rightarrow \mathbb{R}[/tex] e il vincolo e' la frontiera [tex]\partial X[/tex]
Il moltiplicatore di Lagrange non fa altro che calcolare il gradiente della frontiera [tex]\partial X[/tex] e della funzione [tex]f[/tex] , quindi cerca uno scalare [tex]\lambda[/tex] tale che i due vettori siano uguali.
In pratica cerca la condizione di parallelismo tra i due gradienti.
Siccome il vettore tangente e' normale al gradiente, altro non e' che imporre la perpendicolarita' tra il [tex]\nabla f[/tex] e [tex]\partial X /\partial t[/tex].
Non e' vero (in generale) che
[tex]f'(t_0) = \nabla f (\varphi'(t_0))[/tex]
[tex]f'(t_0) = \nabla f[/tex]
e
[tex](\varphi'(t_0))[/tex]
sono due cose diverse.
E perchè in questo cAso sembrano essere la stessa cosa???
E continuo a non capire l aggiunta di quel modulo bella 1.2!!!
Perche' se guardi nel disegno sotto vedi che in realta' sono la stessa cosa.
A e C sono i gradienti del vincolo e della frontiera che sono appunto paralleli (solo nei max/min).
B e' il vettore tangente alla frontiera, che e' perpendicolare ad entrambi.
Il teorema che studi tu dice che se
[tex]\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = 0[/tex]
allora li c'e' un max/min
Lagrange dice che se esiste un [tex]\lambda[/tex] reale (quindi non un vettore), tale che
[tex]\overrightarrow{A} +\lambda \overrightarrow{C} =0[/tex]
allora li c'e' un max/min.
E' la stessa identica cosa detta in due modi diversi.
Scusa i colori, ma e' stato il copia incolla
A e C sono i gradienti del vincolo e della frontiera che sono appunto paralleli (solo nei max/min).
B e' il vettore tangente alla frontiera, che e' perpendicolare ad entrambi.
Il teorema che studi tu dice che se
[tex]\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = 0[/tex]
allora li c'e' un max/min
Lagrange dice che se esiste un [tex]\lambda[/tex] reale (quindi non un vettore), tale che
[tex]\overrightarrow{A} +\lambda \overrightarrow{C} =0[/tex]
allora li c'e' un max/min.
E' la stessa identica cosa detta in due modi diversi.
Scusa i colori, ma e' stato il copia incolla
"f.schiano":
E continuo a non capire l aggiunta di quel modulo bella 1.2!!!
Il modulo e' uno scalare, per cui se dividi per uno scalare, la direzione non cambia e la tangenzialita' rimane.
Non ho detto che l'argomento non c'entra nulla; le domande poste non c'entrano col problema di ottimo, ma sono un'applicazione della derivazione della funzione composta, almeno la prima, la seconda è una semplice divisione per $|\varphi'(t_0)|$.
"Luca.Lussardi":
Non ho detto che l'argomento non c'entra nulla; le domande poste non c'entrano col problema di ottimo, ma sono un'applicazione della derivazione della funzione composta, almeno la prima, la seconda è una semplice divisione per $|\varphi'(t_0)|$.
A me i giochi di parole non interessano. Se per te cercare i minimi e i massimi e' diverso da ottimizzare qualcosa, allora hai ragione tu.
Se voglio ottimizzare il mio guadagno, devo massimizzarlo o minimizzare le perdite. Ergo sono la stessa cosa.
Secondo, non e' una derivata composta quella li. Hai preso fischi per fiaschi. Siamo umani, capita. A me capita spesso.
Poi tu hai il quadruplo dei titoli e dei riconoscimenti che ho io, ti si deve il rispetto che meriti, per cui passo e chiudo e lascio la parola a te. Buona giornata Luca e schiano
Scusami... Hai scritto che A e C sono i gradienti del vincolo e della frontiera... Ma vincolo e frontiera nel mio caso non sono la stessa cosa??? É questo il punto o non ci sto capendo nulla???
Qui non c'è nessuna gara a chi è più qualificato. Io ho solo precisato che le domande che l'utente ha posto in rosso sono solo un'applicazione della derivazione della funzione composta (la prima) e una divisione per una costante (la seconda). Certo che l'argomento è estremi vincolati, ma i dubbi di chi ha posto la domanda non c'entravano nulla con gli estremi vincolati.
Mhhh... Dai non è il caso di alzare i toni... Stiamo solo cercando di capire una cosa... Cioè sto cercando di capire... Comunque... Tornando alla divisione per il modulo...
Ho finalmente capito....nella espressione precedente alla 1.2 ... Era una moltiplicazione per il VETTORE tangente alla curva nel punto P0... nella 1.2, tramite la divisione per il modulo, diventa una moltiplicazione per il VERSORE tangente alla curva in P0....
Giusto???
Per quanto riGuarda il primo dubbio... Ho letto questo :
http://www.science.unitn.it/~baldo/aa20 ... node2.html
e anche a me sembra che c entri qualcosina con quello di cui stiamo parlando... ...Non voglio schierarmi
dalla parte d nessuno in questa "guerra"...
... È solo la mia modesta opinione!!!
Ho finalmente capito....nella espressione precedente alla 1.2 ... Era una moltiplicazione per il VETTORE tangente alla curva nel punto P0... nella 1.2, tramite la divisione per il modulo, diventa una moltiplicazione per il VERSORE tangente alla curva in P0....
Giusto???
Per quanto riGuarda il primo dubbio... Ho letto questo :
http://www.science.unitn.it/~baldo/aa20 ... node2.html
e anche a me sembra che c entri qualcosina con quello di cui stiamo parlando... ...Non voglio schierarmi
dalla parte d nessuno in questa "guerra"...
... È solo la mia modesta opinione!!!
Ti ripeto: il primo dubbio che hai messo in rosso è solo la riga $F'(t_0)=0$ riscritta utilizzando il teorema di derivazione della funzione composta; è solo analisi 2.
Sisi... Infatti ti ho scritto che mi trovo... Nel link che ho inviato c'è spiegato il teorema per funz. A più variabili...
"f.schiano":
Scusami... Hai scritto che A e C sono i gradienti del vincolo e della frontiera... Ma vincolo e frontiera nel mio caso non sono la stessa cosa??? É questo il punto o non ci sto capendo nulla???
Scusami tu. C'e' un errore.
A e C sono i gradienti della frontiera e della funzione.
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