$e^i$

[bobila 32]

Cerco una dimostrazione rigorosa della formula: $(e^i)=-1$. Grazie

[Chicco_Stat_1]

occhio che non è $e^i = -1$ bensì $e^(i*pi)= -1$

sono noti gli sviluppi in serie di Taylor delle funzioni $sintheta$, $costheta$ e $e^theta$:

$sintheta=theta - theta^3/(3!) + theta^5/(5!) - ...$, $-oo
$costheta=1 - theta^2/(2!) + theta^4/(4!) - ...$, $-oo
$e^theta = 1 + theta + theta^2/(2!) + theta^3/(3!) + ...$, $-oo
si può definire

$e^(i*theta) = 1 + i*theta + (i*theta)^2/(2!) + (i*theta)^3/(3!) + ...$, $-oo
dove $i=sqrt(-1)$ è l'unità immaginaria, tale approccio è stato adottato da Weierstrass (nota storica )

calcolando le potenze di $i$ nella serie testé introdotta otteniamo che

$e^(i*theta) = 1 + i*theta + (i*theta)^2/(2!) + (i*theta)^3/(3!) + (i*theta)^4/(4!)+ (i*theta)^5/(5!) + ... = $
$=1 + i*theta - theta^2/(2!) - i*theta^3/(3!) + theta^4/(4!) + i*theta^5/(5!) + ... =$
$=1 - theta^2/(2!) + theta^4/(4!) + ... + i*(theta - theta^3/(3!) + theta^5/(5!) + ...) = costheta + i*sintheta$

ovvero la famosa Formula di Eulero (altresì nota come Identità di Eulero) $e^(i*theta) = costheta + i*sintheta$

se ora poni $theta=pi$ ottieni

$e^(i*pi) = cospi + i*sinpi = -1 + i*0 = -1$

ovvero

$e^(i*pi) + 1 = 0$


^_^

[Camillo]

Se invece vuoi prorio conoscere quanto valga $ e^i $ si ottiene , usando la formula di Eulero : $ cos (1)+isin(1) $ che è circa $ 0.54+i*0.84 $.