EDP con Fourier

[wedge]

risolvere l'equazione del calore

$del/(delt) U = del^2/(delx^2) U $

per una barra infinita e t>0

con le condizioni

$U(x,0)= f(x) = exp[-alpha x^2] sin [betax]$, alpha e beta positivi
e U, $del/(delx) U$ -> 0 per |x|->$oo$

qualcuno ha voglia di controllare questa soluzione?
la metto in spoiler per qualcun altro che magari avesse voglia di fare l'esercizio.

$del/(delt) U(x,t) = del^2/(delx^2) U(x,t) $
$del/(delt) hatU(p,t) = p^2 hatU(p,t) $

integro rispetto al tempo a p fissato
$hatU(p,t)=A(p) e^(-p^2 t)$

poichè $hatU(p,0)=A(p)$ abbiamo che A(p) è trasformata di f(x)
e dato che l'antitrasformata di un prodotto è convoluzione delle antitrasformate direi banalmente

$U(x,t)= e^[-alpha x^2] sin [betax] ** e^(-x^2/(4t) $
ossia $U(x,t) = int_(-oo) ^(+oo) exp[-alpha (x-w)^2] sin [beta(x-w)] e^(-w^2/(4t)) dw $

è così immediato oppure ho sbagliato qualcheccosa?
grazie

[wedge]

up!

[Eredir]

Nel secondo passaggio dovrebbe esserci un meno, ma poi vedo che riappare correttamente nel terzo.
Nel prodotto di convoluzione invece mi sembra che manchi un $1/(2sqrt(\pit))$.