EDO/Integrali applicazioni in fisica
Ciao a tutti...sono studente di Ingegneria Automatica al terzo anno, ho superato Analisi ma non Fisica.
Mi scuso lo scarsissimo formalismo, io amo la matematica ma ormai sono arrugginito, e ad ingegneria passata Analisi 1 si inizia a maltrattarla...ed iniziando a vedere cose mai spiegate sono rimasto con le idee molto confuse!
Userò questi due riferimenti nelle domande:
https://youtu.be/Egbkmof2B1Q?t=118, mi riferirò all'Esempio1: y' = y^2*lnx
[**] https://it.wikipedia.org/wiki/Moto_rett ... ferenziali, mi riferirò al paragrafo "Espressione in termini differenziali" del Moto rettilineo uniforme
(1.1) Dal primo giorno in Fisica abbiamo iniziato a trattare i differenziali come semplici costanti, moltiplicandoli e dividendoli nelle equazioni, ma questa cosa si può fare sempre? Esiste un teorema o un qualche articolo a riguardo? Al minuto 2:50 di il prof. Bombardelli dice che si può dimostrare...
(1.2) Come fa a rimanere equivalente l'equazione se nel membro di sinistra viene fatto un integrale in y e a destra un integrale in x? Mi risulta ancora più strano dello spostare il differenziale, che comunque ad intuito funziona trattandosi di moltiplicare membro a sinistra e membro a destra per "la stessa cosa"
(2)
So, siccome è MRU, che l'integrale di sinistra è giustamente s(t)-s(t0), ma mi sfugge perché non risulti t-t0, visto che sembrerebbe l'integrale di 1!
(3.1) Quando sono di fronte ad una equazione con i vari differenziali, posso sempre integrare entrambi i termini? Come nella domanda (1), questa è una cosa che abbiamo iniziato a fare in Fisica e so che a molti sembra scontata ma io non l'ho capita e vorrei leggere una dimostrazione a riguardo, esiste?
(3.2) Questa integrazione può essere arbitrariamente definita/indefinita/funzione integrale?
(3.3) Come faccio a capire in che variabili integrare? Perché per esempio nel video, con dy a sinistra si integra in y (variabile dipendente), nell'articolo [**] con ds a sinistra si integra in t (variabile indipendente)...eppure sono entrambi a variabili separabili, anche se quest'ultimo [**] è un caso quasi banale.
(4) Analogamente all'operazione di integrazione di un'equazione, posso anche derivare? Penso a questo perché immagino possa essere utile nel ricavare grandezze fisiche in funzione di altre.
Abbiate pietà della mia informalità e scusate le mille domande, grazie mille!
Mi scuso lo scarsissimo formalismo, io amo la matematica ma ormai sono arrugginito, e ad ingegneria passata Analisi 1 si inizia a maltrattarla...ed iniziando a vedere cose mai spiegate sono rimasto con le idee molto confuse!
Userò questi due riferimenti nelle domande:
(1.1) Dal primo giorno in Fisica abbiamo iniziato a trattare i differenziali come semplici costanti, moltiplicandoli e dividendoli nelle equazioni, ma questa cosa si può fare sempre? Esiste un teorema o un qualche articolo a riguardo? Al minuto 2:50 di
(1.2) Come fa a rimanere equivalente l'equazione se nel membro di sinistra viene fatto un integrale in y e a destra un integrale in x? Mi risulta ancora più strano dello spostare il differenziale, che comunque ad intuito funziona trattandosi di moltiplicare membro a sinistra e membro a destra per "la stessa cosa"
(2)
So, siccome è MRU, che l'integrale di sinistra è giustamente s(t)-s(t0), ma mi sfugge perché non risulti t-t0, visto che sembrerebbe l'integrale di 1!
(3.1) Quando sono di fronte ad una equazione con i vari differenziali, posso sempre integrare entrambi i termini? Come nella domanda (1), questa è una cosa che abbiamo iniziato a fare in Fisica e so che a molti sembra scontata ma io non l'ho capita e vorrei leggere una dimostrazione a riguardo, esiste?
(3.2) Questa integrazione può essere arbitrariamente definita/indefinita/funzione integrale?
(3.3) Come faccio a capire in che variabili integrare? Perché per esempio nel video
(4) Analogamente all'operazione di integrazione di un'equazione, posso anche derivare? Penso a questo perché immagino possa essere utile nel ricavare grandezze fisiche in funzione di altre.
Abbiate pietà della mia informalità e scusate le mille domande, grazie mille!
Risposte
Lascia stare YouTube e certi personaggi (anche molto seguiti) che fanno lezioni online: il più delle volte non sanno come dire cose che non conoscono.
Lascia stare i differenziali: non si manipolano come raccontano i personaggi di cui sopra, né i docenti di Fisica.
Comincia a pensare in termini di funzioni.
E leggi qualche mio vecchio post.
Lascia stare i differenziali: non si manipolano come raccontano i personaggi di cui sopra, né i docenti di Fisica.
Comincia a pensare in termini di funzioni.
E leggi qualche mio vecchio post.
Lascia stare YouTube e certi personaggi (anche molto seguiti) che fanno lezioni online: il più delle volte non sanno come dire cose che non conoscono.
Lascia stare i differenziali: non si manipolano come raccontano i personaggi di cui sopra, né i docenti di Fisica.
Comincia a pensare in termini di funzioni.
E leggi qualche mio vecchio post.
Lascia stare i differenziali: non si manipolano come raccontano i personaggi di cui sopra, né i docenti di Fisica.
Comincia a pensare in termini di funzioni.
E leggi qualche mio vecchio post.
Quali post mi consigli?
Quali post mi consigli?
"marcopulv19":
Come faccio a capire in che variabili integrare? Perché per esempio nel video, con dy a sinistra si integra in y (variabile dipendente), nell'articolo [**] con ds a sinistra si integra in t (variabile indipendente)...
Ciao marcopulv19, e benvenuto al Forum.
Non è che ho capito benissimo che volevi dire delle variabili separabili, e spero di non dire cose per te scontate.
Spesso questi dubbi sui 'differenziali', i $dx$ etc., sono legati a incomprensioni sulle equazioni differenziali a variabili separabili.
Il procedimento di soluzione delle equazioni a variabili separabili che spesso si dà, dove in effetti sembra che al primo membro si integra in una variabile e al secondo membro in un altra (e si fa un uso un po' disinvolto della notazione di Leibnitz, ossia si 'spezza' il simbolo di derivata $(d(y))/(d(t))$!) è solo un procedimento pratico, un trucco pratico che serve a ricordarsi che cosa si deve fare, ma non è una dimostrazione matematica[nota]In effetti l'equazione che si ottiene ha senso come forma differenziale, ma non è in genere a queste che ci si riferisce quando si introducono le equazioni differenziali a variabili separabili[/nota].
Quindi il fatto che si integra in due variabili differenti a destra e sinistra è solo apparenza.
In realtà, dietro alla soluzione di una equazione differenziale a variabili separabili, c'è un processo di sostituzione, un cambiamento di variabile, in cui cui non si integra affatto in due variabili diverse (ed è quello che giustifica il 'trucco').
Poi, dal punto di vista pratico, non è che ogni volta si va a fare una sostituzione, ma si usa il 'trucco'.
In effetti non sempre i libri di analisi spiegano bene questa sostituzione, un libro dove è chiaro è Giusti (mi riferisco a Giusti, Analisi I, terza edizione).
"marcopulv19":
Ciao a tutti...sono studente di Ingegneria Automatica al terzo anno, ho superato Analisi ma non Fisica.
Mi scuso lo scarsissimo formalismo, io amo la matematica ma ormai sono arrugginito, e ad ingegneria passata Analisi 1 si inizia a maltrattarla...ed iniziando a vedere cose mai spiegate sono rimasto con le idee molto confuse!
Userò questi due riferimenti nelle domande:
https://youtu.be/Egbkmof2B1Q?t=118, mi riferirò all'Esempio1: y' = y^2*lnx [**] https://it.wikipedia.org/wiki/Moto_rett ... ferenziali, mi riferirò al paragrafo "Espressione in termini differenziali" del Moto rettilineo uniforme
(1.1) Dal primo giorno in Fisica abbiamo iniziato a trattare i differenziali come semplici costanti, moltiplicandoli e dividendoli nelle equazioni, ma questa cosa si può fare sempre? Esiste un teorema o un qualche articolo a riguardo?
Dipende da cosa significa per te "si può fare".
Se significa "si può fare perché poggia su solide basi teoriche", beh, no.
Se significa "si può fare perché funziona", beh, sì.
Il che porta alla domanda: "come mai un procedimento che non poggia su basi teoriche valide funziona nella pratica"?
Beh, semplicemente, perché la giustificazione si può dare, ma non coi metodi che coinvolgono manipolazioni di differenziali.
"marcopulv19":
Al minuto 2:50 diil prof. Bombardelli dice che si può dimostrare...
Il prof. Bombardelli è laureato in Fisica e fa video su YouTube.
Che gli scappi una vaccata del genere tra "un amico della $y$" ed un altro è del tutto naturale.
"marcopulv19":
(1.2) Come fa a rimanere equivalente l'equazione se nel membro di sinistra viene fatto un integrale in y e a destra un integrale in x? Mi risulta ancora più strano dello spostare il differenziale, che comunque ad intuito funziona trattandosi di moltiplicare membro a sinistra e membro a destra per "la stessa cosa"
Infatti, sono entrambi integrali rispetto ad $x$ (o comunque si chiami la variabile indipendente).
"marcopulv19":
(2)
So, siccome è MRU, che l'integrale di sinistra è giustamente s(t)-s(t0), ma mi sfugge perché non risulti t-t0, visto che sembrerebbe l'integrale di 1!
Sinceramente non capisco l'obiezione.
"marcopulv19":
(3.1) Quando sono di fronte ad una equazione con i vari differenziali, posso sempre integrare entrambi i termini? Come nella domanda (1), questa è una cosa che abbiamo iniziato a fare in Fisica e so che a molti sembra scontata ma io non l'ho capita e vorrei leggere una dimostrazione a riguardo, esiste?
Non la puoi leggere perché, come detto, non c'è.
"marcopulv19":
(3.2) Questa integrazione può essere arbitrariamente definita/indefinita/funzione integrale?
Beh, no, non è indifferente.
Fintantoché hai delle condizioni iniziali, vanno usate le funzioni integrali.
E quando non ce le hai, le fai comparire a forza.
"marcopulv19":
(3.3) Come faccio a capire in che variabili integrare? Perché per esempio nel video, con dy a sinistra si integra in y (variabile dipendente), nell'articolo [**] con ds a sinistra si integra in t (variabile indipendente)...eppure sono entrambi a variabili separabili, anche se quest'ultimo [**] è un caso quasi banale.
Variabile indipendente, sempre.
"marcopulv19":
(4) Analogamente all'operazione di integrazione di un'equazione, posso anche derivare? Penso a questo perché immagino possa essere utile nel ricavare grandezze fisiche in funzione di altre.
Fintantoché la EDO ha soluzione e la soluzione è regolare, sì.
Voglio provare anche io a fare un po' di chiarezza sulla questione, che secondo me è più semplice di come viene fatta sembrare.
Il famigerato metodo di separazione delle variabili è la radice di tutti i mali, quindi voglio provare a darti un modo alternativo di vedere le cose; prendo l'equazione dell'esempio, \(y' = y^2 \ln x\).
Questa si può risolvere col metodo controverso dello scrivere \(y' = \frac{dy}{dx}\) e poi
\[
y^{-2} dy = \ln x dx
\]
che si "integra rispetto a due variabili" per ottenere, rocambolescamente,
\[
- \frac{1}{y} = x(\ln x - 1) + C
\]
da cui, infine,
\[
y = - \frac{1}{x(\ln x - 1) + C}.
\]
Tuttavia, puoi giungere allo stesso risultato senza spezzare i differenziali:
\[
y(x)^{-2} y'(x) = \ln x
\]
Questa è un'uguaglianza tra due funzioni di \(x\). Se due funzioni sono uguali, il loro integrale sarà uguale, quindi è vero che
\[
\int y(x)^{-2} y'(x) dx = \int \ln x dx
\]
o, meglio ancora, usando l'integrale definito [visto che l'integrale indefinito in realtà non esiste],
\begin{equation}
\int_{x_0}^x y(t)^{-2} y'(t) dt = \int_{x_0}^x \ln t dt.
\end{equation}
Adesso osservi che il membro a sinistra è un'espressione nella forma \(f'(g(x)) \cdot g'(x)\) con \(g(x) = y(x)\) e \(f'(x) = x^{-2}\) -- questo succede sempre nelle equazioni a variabili separabili -- e quindi lo riscrivi come \(f(g(x))'\) [formula della derivata di una composizione di funzioni] e ottieni
\[
\int_{x_0}^x \left(- \frac{1}{y(t)}\right)' dt = \int_{x_0}^x \ln t dt.
\]
Il termine a sinistra è quindi banale da integrare [teorema fondamentale del calcolo] e arrivi a
\begin{equation}
- \frac{1}{y(x)} = x(\ln x - 1) + C
\end{equation}
e finalmente
\[
y(x) = - \frac{1}{x(\ln x - 1) + C}.
\]
che è la soluzione. Come diceva gabriella, spezzare i differenziali è un trucco, e ciò che sta dietro al trucco è il passaggio da (1) a (2), che in questo caso è rigoroso perché si fa usando la formula della derivata di una composizione di funzioni.
Questo dovrebbe rispondere ai punti 1.1 e 1.2.
Per il punto 2, dovrebbe ora esserti chiaro che quello che hai è
\[
\int_{t_0}^t s'(t) dt = \int_{t_0}^t v dt
\]
e che il primo membro NON È
\[
\int_{t_0}^t 1 \cdot ds = t - t_0
\]
perché \(s = s(t)\) NON È una costante. D'altro canto, \(v\) È una costante per definizione di moto rettilineo uniforme.
Punto 3.1: segui la strada di cui sopra e non avrai mai le mani sporche di sangue.
Punto 3.2: come detto sopra e ribadito anche da gugo, l'integrale indefinito non esiste.
Punto 3.3: se hai un'uguaglianza tra due funzioni della stessa variabile [indipendente], puoi sempre integrarle entrambe rispetto alla stessa variabile [e sullo stesso dominio!] ed ottenere un'uguaglianza tra i loro integrali.
Il famigerato metodo di separazione delle variabili è la radice di tutti i mali, quindi voglio provare a darti un modo alternativo di vedere le cose; prendo l'equazione dell'esempio
\[
y^{-2} dy = \ln x dx
\]
che si "integra rispetto a due variabili" per ottenere, rocambolescamente,
\[
- \frac{1}{y} = x(\ln x - 1) + C
\]
da cui, infine,
\[
y = - \frac{1}{x(\ln x - 1) + C}.
\]
Tuttavia, puoi giungere allo stesso risultato senza spezzare i differenziali:
\[
y(x)^{-2} y'(x) = \ln x
\]
Questa è un'uguaglianza tra due funzioni di \(x\). Se due funzioni sono uguali, il loro integrale sarà uguale, quindi è vero che
\[
\int y(x)^{-2} y'(x) dx = \int \ln x dx
\]
o, meglio ancora, usando l'integrale definito [visto che l'integrale indefinito in realtà non esiste],
\begin{equation}
\int_{x_0}^x y(t)^{-2} y'(t) dt = \int_{x_0}^x \ln t dt.
\end{equation}
Adesso osservi che il membro a sinistra è un'espressione nella forma \(f'(g(x)) \cdot g'(x)\) con \(g(x) = y(x)\) e \(f'(x) = x^{-2}\) -- questo succede sempre nelle equazioni a variabili separabili -- e quindi lo riscrivi come \(f(g(x))'\) [formula della derivata di una composizione di funzioni] e ottieni
\[
\int_{x_0}^x \left(- \frac{1}{y(t)}\right)' dt = \int_{x_0}^x \ln t dt.
\]
Il termine a sinistra è quindi banale da integrare [teorema fondamentale del calcolo] e arrivi a
\begin{equation}
- \frac{1}{y(x)} = x(\ln x - 1) + C
\end{equation}
e finalmente
\[
y(x) = - \frac{1}{x(\ln x - 1) + C}.
\]
che è la soluzione. Come diceva gabriella, spezzare i differenziali è un trucco, e ciò che sta dietro al trucco è il passaggio da (1) a (2), che in questo caso è rigoroso perché si fa usando la formula della derivata di una composizione di funzioni.
Questo dovrebbe rispondere ai punti 1.1 e 1.2.
Per il punto 2, dovrebbe ora esserti chiaro che quello che hai è
\[
\int_{t_0}^t s'(t) dt = \int_{t_0}^t v dt
\]
e che il primo membro NON È
\[
\int_{t_0}^t 1 \cdot ds = t - t_0
\]
perché \(s = s(t)\) NON È una costante. D'altro canto, \(v\) È una costante per definizione di moto rettilineo uniforme.
Punto 3.1: segui la strada di cui sopra e non avrai mai le mani sporche di sangue.
Punto 3.2: come detto sopra e ribadito anche da gugo, l'integrale indefinito non esiste.
Punto 3.3: se hai un'uguaglianza tra due funzioni della stessa variabile [indipendente], puoi sempre integrarle entrambe rispetto alla stessa variabile [e sullo stesso dominio!] ed ottenere un'uguaglianza tra i loro integrali.
"Raptorista":
Il famigerato metodo di separazione delle variabili è la radice di tutti i mali.
Infatti, come dice Raptorista, ho visto, sorprendentemente, molta gente confondersi su questa cosa.
Per me è sempre stata una cosa ovvia, e tendo a pensare, che mentre io queste cose le ho studiate a suo tempo al Dipartimento di matematica alla Sapienza, in altri contesti, probabilmente non in facoltà di matematica, viene insegnato il 'trucco' senza spiegare bene cosa c'è sotto.
Nei corsi che ho fatto io lì, Analisi e Equazioni differenziali, i professori non insegnavano il 'trucco', ma il procedimento rigoroso, per cui non ho mai visto nessuno confondersi.
Comunque concordo con Raptorista: è una questione molto semplice che sembra complicata solo perché si fa casino.
Fortunatamente (per me) quando ho letto la prima volta questo modo di spaccare i differenziali avevo già studiato eq.diff in un corso dove venivano risolte/analizzate come ha fatto Raptorista, non come ha proposto l'OP.
Visto che non l'ha ancora fatto nessuno, ti segnalo questo PDF scritto da Fioravante Patrone, che da anni ormai viene periodicamente linkato in queste discussioni.
Visto che non l'ha ancora fatto nessuno, ti segnalo questo PDF scritto da Fioravante Patrone, che da anni ormai viene periodicamente linkato in queste discussioni.
Siete stati gentilissimi, e avete chiarito tutti i miei dubbi!
Grazie mille a tutti!
A questo punto vi chiedo solo che intendente per "non esistono gli integrali indefiniti"?
L'integrale indefinito di f(x) in dx non è l'insieme delle funzioni F(x) la cui derivata è uguale ad f(x)?
Grazie mille a tutti!
A questo punto vi chiedo solo che intendente per "non esistono gli integrali indefiniti"?
L'integrale indefinito di f(x) in dx non è l'insieme delle funzioni F(x) la cui derivata è uguale ad f(x)?
Sì, vabbè... Però in fin dei conti poco serve.
"feddy":
Fortunatamente (per me) quando ho letto la prima volta questo modo di spaccare i differenziali avevo già studiato eq.diff in un corso dove venivano risolte/analizzate come ha fatto Raptorista, non come ha proposto l'OP.
Visto che non l'ha ancora fatto nessuno, ti segnalo questo PDF scritto da Fioravante Patrone, che da anni ormai viene periodicamente linkato in queste discussioni.
Ma grazie!
L'altra mattina leggevo questo post "in coda" e mi dicevo: -Strano, mi pare uguale ad un post cui ho già risposto... Mo' vado a vedere dove è finito per fare un confronto, così capisco se devo approvarlo o no-
Anche facendo un bel po' di ricerche, il post cui avevo già risposto non lo trovo. Penso: -Strana 'sta cosa. Ma forse sbaglio le chiavi di ricerca. Mo' faccio lezione, poi dopo vedo...-
Dopo l'orario di lezione torno qui sul forum e mi accorgo cosa c'è che non va: manca un mese di vita del forum.
Di tutto il forum, sotto tutti gli aspetti: mancano thread, mancano post, mancano PM, mancano -soprattutto- i nuovi iscritti!
Egraziealc@%%o che non lo trovo il mio post, è stato cancellato insieme a tutto il resto!!!
Ma come è possibile?!?
In tredici anni sul forum una cosa del genere non l'avevo mai vista.
Certo, qualche riavvolgimento minimo sì, è capitato quando stan (il nostro vecchio tecnico) uppava aggiornamenti che minavano la stabilità del forum, oppure quando ci fu il problema di sincronizzare account del sito e del forum... Ma un mese di "buco" no.
Anche facendo un bel po' di ricerche, il post cui avevo già risposto non lo trovo. Penso: -Strana 'sta cosa. Ma forse sbaglio le chiavi di ricerca. Mo' faccio lezione, poi dopo vedo...-
Dopo l'orario di lezione torno qui sul forum e mi accorgo cosa c'è che non va: manca un mese di vita del forum.
Di tutto il forum, sotto tutti gli aspetti: mancano thread, mancano post, mancano PM, mancano -soprattutto- i nuovi iscritti!
Egraziealc@%%o che non lo trovo il mio post, è stato cancellato insieme a tutto il resto!!!
Ma come è possibile?!?
In tredici anni sul forum una cosa del genere non l'avevo mai vista.
Certo, qualche riavvolgimento minimo sì, è capitato quando stan (il nostro vecchio tecnico) uppava aggiornamenti che minavano la stabilità del forum, oppure quando ci fu il problema di sincronizzare account del sito e del forum... Ma un mese di "buco" no.
[ot]Ciao gugo82,
Se ho capito bene il "buco" è dovuto al down di Google dei giorni scorsi. Ho già inviato un'e-mail all'assistenza e mi hanno detto che ci stavano lavorando, poi non so se ce la faranno a ripristinarlo: mi auguro di sì, ma finora no...
[/ot]
"gugo82":
Ma un mese di "buco" no
Se ho capito bene il "buco" è dovuto al down di Google dei giorni scorsi. Ho già inviato un'e-mail all'assistenza e mi hanno detto che ci stavano lavorando, poi non so se ce la faranno a ripristinarlo: mi auguro di sì, ma finora no...
[/ot]
@ pilloeffe: [ot]
Se ho capito bene il "buco" è dovuto al down di Google dei giorni scorsi. Ho già inviato un'e-mail all'assistenza e mi hanno detto che ci stavano lavorando, poi non so se ce la faranno a ripristinarlo: mi auguro di sì, ma finora no...[/quote]
Mi pare strano. Non vedo come un problema a Mountain View possa aver causato problemi sui server di skuola.net, suoi quali il forum è ospitato da novembre...
Per caso anche il sito o il forum di skuola.net hanno avuto lo stesso problema? Non mi sembra, dopo un rapido controllo.
Ma vabbé io non sono un tecnico e non capisco di queste cose, quindi un mio parere conta davvero poco.
Sarebbe auspicabile che qualcuno di skuola.net si facesse vivo, ma finora tutto tace.[/ot]
"pilloeffe":
Ciao gugo82,
[quote="gugo82"]Ma un mese di "buco" no
Se ho capito bene il "buco" è dovuto al down di Google dei giorni scorsi. Ho già inviato un'e-mail all'assistenza e mi hanno detto che ci stavano lavorando, poi non so se ce la faranno a ripristinarlo: mi auguro di sì, ma finora no...
[/quote]Mi pare strano. Non vedo come un problema a Mountain View possa aver causato problemi sui server di skuola.net, suoi quali il forum è ospitato da novembre...
Per caso anche il sito o il forum di skuola.net hanno avuto lo stesso problema? Non mi sembra, dopo un rapido controllo.
Ma vabbé io non sono un tecnico e non capisco di queste cose, quindi un mio parere conta davvero poco.
Sarebbe auspicabile che qualcuno di skuola.net si facesse vivo, ma finora tutto tace.[/ot]
[ot]
Però melody_gio (alias Giorgia che è quella che legge le mail inviate ad assistenza@skuola.net) viene tutti i giorni a vedere il forum ma non dice niente ...
[/ot]
"gugo82":
... Sarebbe auspicabile che qualcuno di skuola.net si facesse vivo, ma finora tutto tace. ...
Però melody_gio (alias Giorgia che è quella che legge le mail inviate ad assistenza@skuola.net) viene tutti i giorni a vedere il forum ma non dice niente ...
[/ot]
@gugo82, @alex
[ot]Confermo, ci stanno lavorando
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 0#p8481838[/ot]
[ot]Confermo, ci stanno lavorando
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 0#p8481838[/ot]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo