EDO omogenea

[poncelet]

Ciao a tutti,
devo integrare questa equazione differenziale omogenea:

[tex]$y'=\frac{2}{3}\frac{4y^{2}-x^{2}}{x^{2}+y{2}}$[/tex]

Utilizzo la classica sostituzione:

[tex]$y=xu$[/tex]

ed ottengo un'equazione a variabili separabili di questo tipo

[tex]u'=\frac{2}{3x}(\frac{-3u^{3}+8u^{2}-3u-2}{2(u^{2}+1)})$[/tex]

Il fatto è che integrare l'inverso della roba che c'è dentro la parentesi è un'impresa improba (almeno per me)...
C'è qualche trucco che mi sfugge?

[Gi81]

Penso che ti sia dimenticato di moltiplicare $u$ per $3/2$.
A me viene:[tex]u'=\frac{2}{3x}(\frac{4u^{2}-1}{u^{2}+1}-\frac{3}{2}u)$[/tex],
ma cambia poco, purtroppo.
Curiosità: dove hai preso l'esercizio?

[poncelet]

Hai ragione, mi ero dimenticato un [tex]$\frac{3}{2}$[/tex] (adesso ho modificato) che però come dici tu non cambia di molto la sostanza. L'esercizio l'ho preso sull'eserciziario del Giusti (Esercizi e complementi di Analisi Matematica. Volume secondo) che non riporta le soluzioni. Ho provato a dare l'integrale in pasto a Wolfram e Maple ma esce una cosa orrenda. Deve esserci qualche altra strada che semplifica i calcoli. Provo a vedere.

[poncelet]

E invece sorpresa, correggendo quel piccolo errore, l'integrale viene più o meno umano:

[tex]$\int\frac{2(1+u^{2})}{-3u^{3}+8u^{2}-3u-2}du=\log(1-u)-\frac{5}{21}(6\log(2-u)+\log(3u+1))$[/tex]

[Gi81]

Meglio così. Anche se non è il massimo della bellezza

[Giuly191]

Scusate ragazzi sul mio libro trovo le equazioni omogenee definite come:
$y'=g(y/x)$
Solo che l'equazione di questo esercizio non mi torna che possa essere messa in questa forma, quindi in generale come faccio a capire quando può essere utile quella sostituzione? Io ci avrei messo un po' a pensare di provarla in questo caso!

[poncelet]

[tex]$y'=\frac{2}{3}\left(\frac{4\left(\frac{y^{2}}{x^{2}}\right)}{1+\frac{y^{2}}{x^{2}}}-\frac{1}{1+\frac{y^{2}}{x^{2}}}\right)$[/tex]

[Giuly191]

Vero, grazie!