EDO non lineari

[cntrone]

non riesco a capire quando una equazione differenziale non è lineare.. il professore prese come esempio questa:

$y'=|x|y$

sinceramente io la considero un'equazione diff lineare.. e tuttavia non saprei risolverla per via del modulo..ma a parte questo faccio fatica a distinguere i casi..qualcuno può cercare di "illuminarmi"?

[gugo82]

Una EDO d'ordine $n$ $F(x,y,y',\ldots ,y^((n)))=0$ si dice lineare se la funzione $F(x,y_0,\ldots,y_n)$ è lineare nei suoi ultimi $n+1$ argomenti, ossia se $AA (y_0,\ldots ,y_n),(eta_0,\ldots ,eta_n) \in RR^(n+1) " e " AA alpha \in RR$ si ha:

$F(x,y_0+eta_0,\ldots ,y_n+eta_n)=F(x,y_0,\ldots ,y_n)+F(x,eta_0,\ldots ,eta_n) " e " F(x,alphay_0,\ldots ,alphay_n)=alphaF(x,y_0,\ldots ,y_n)$.

Ciò accade quando (e solo quando) esistono $n+2$ applicazioni $a_0,\ldots a_n,b:I\to RR$ ($I\subseteq RR$ è un intervallo) tali che:

$F(x,y_0,\ldots ,y_n)=a_0(x)*y_n+a_1(x)*y_(n-1)+\ldots +a_(n+1)(x)*y_0+b(x)$;

pertanto una EDO lineare di ordine $n$ si scrive:

$a_0(x)*y^((n))+a_1(x)*y^((n-1))+\ldots +a_(n+1)(x)*y+b(x)=0$

(nel caso particolare l'equazione del primo ordine lineare si scrive $a_0(x)*y'+a_1(x)*y+b(x)=0$).

Ovviamente, una EDO si dice non lineare se la $F(x,y_0,\ldots ,y_n)$ non è lineare rispetto ad almeno una delle ultime $n+1$ variabili da cui dipende.

Nel tuo caso, $y'=|x|*y$, hai $n=1,\ a_0(x)=1,\ a_1(x)=-|x|,\ b(x)=0$, quindi l'equazione è lineare.
Probabilmente il prof. voleva scrivere $y'=|xy|$ oppure $y'=x|y|$: in tal modo tutto avrebbe avuto senso.

[cntrone]

"Gugo82":Una EDO d'ordine $n$ $F(x,y,y',\ldots ,y^((n)))=0$ si dice lineare se la funzione $F(x,y_0,\ldots,y_n)$ è lineare nei suoi ultimi $n+1$ argomenti, ossia se $AA (y_0,\ldots ,y_n),(eta_0,\ldots ,eta_n) \in RR^(n+1) " e " AA alpha \in RR$ si ha:

$F(x,y_0+eta_0,\ldots ,y_n+eta_n)=F(x,y_0,\ldots ,y_n)+F(x,eta_0,\ldots ,eta_n) " e " F(x,alphay_0,\ldots ,alphay_n)=alphaF(x,y_0,\ldots ,y_n)$.

Ciò accade quando (e solo quando) esistono $n+2$ applicazioni $a_0,\ldots a_n,b:I\to RR$ ($I\subseteq RR$ è un intervallo) tali che:

$F(x,y_0,\ldots ,y_n)=a_0(x)*y_n+a_1(x)*y_(n-1)+\ldots +a_(n+1)(x)*y_0+b(x)$;

pertanto una EDO lineare di ordine $n$ si scrive:

$a_0(x)*y^((n))+a_1(x)*y^((n-1))+\ldots +a_(n+1)(x)*y+b(x)=0$

(nel caso particolare l'equazione del primo ordine lineare si scrive $a_0(x)*y'+a_1(x)*y+b(x)=0$).

Ovviamente, una EDO si dice non lineare se la $F(x,y_0,\ldots ,y_n)$ non è lineare rispetto ad almeno una delle ultime $n+1$ variabili da cui dipende.

Nel tuo caso, $y'=|x|*y$, hai $n=1,\ a_0(x)=1,\ a_1(x)=-|x|,\ b(x)=0$, quindi l'equazione è lineare.
Probabilmente il prof. voleva scrivere $y'=|xy|$ oppure $y'=x|y|$: in tal modo tutto avrebbe avuto senso.

grazie per le precisazioni..comunque ne approfitto per chiederti come avrei dovuto procedere per risolvere quell'equazione visto che ancora non mi è chiaro..

[gugo82]

Beh, si risolve come ogni equazione a variabili separabili che si rispetti... Prova.

[cntrone]

correggimi se sbaglio..
dovrebbe essere $y=ce^(x|x|/2)$ con $c in RR$

comunque grazie ancora..

[gugo82]

Mi pare giusto.

Prego.