EDO: massimalità e stabilità

[emmeffe90]

Buongiorno a tutti.
Vi propongo un esercizio che mi crea grosse difficoltà.
Siano $omega in RR$ e $f in C^1(RR)$; si supponga $omega!=0$ e $s*f(s)>=0 AAs in RR$; si consideri l'equazione differenziale
$x''(t)+f(x'(t))+omega^2x(t)=0$ (1).
Provare che:
1) ogni soluzione massimale di (1) è definita su $[0, +oo)$;
2) $x(t)=0 AAt in RR$ è un equilibrio stabile per (1).

Per risolvere il primo punto, l'unica cosa che mi viene in mente di fare è provare che se $x(t)$ è una soluzione massimale definita in $I=[0, b]$, allora è necessariamente limitata e quindi prolungabile $AAb>0$...però non saprei come dimostrare che una tale soluzione è limitata.
Per il secondo punto, mi riscrivo l'equazione come sistema: $ { ( x'(t)=y(t) ),( y'(t)=-f(y(t))-omega^2*x(t) ):} $ e uso la funzione $V(x, y)=omega^2*x^2+y^2$, che nelle nostre ipotesi risulta una funzione di Lyapunov. Quindi, poiché $x-=0 =>y-=0$, si ha che $(x(t), y(t))-=(0, 0) $ risulta un equilibrio stabile.

Domanda 1: quel che ho detto è giusto?
Domanda 2: consigli su come fare ciò che non ho fatto?
Ringrazio già da ora chi saprà illuminarmi.

[emmeffe90]

Uno alla volta, non accavalliamoci!
Per tornare seri, pensavo di usare la stabilità provata al punto 2 per provare che le soluzioni sono limitate:
poniamo $B_delta(0, 0)$ il disco di centro l'equilibrio e raggio $delta$, $I$ un intervallo aperto, $Phi(., (x, y)): I ->RR^2$ la soluzione massimale tale che $Phi(0)=(x, y)$.
Per definizione, $AA epsilon >0, EE delta >0 : AA (x, y) in B_delta(0, 0), Phi(t, (x, y)) in B_epsilon(0, 0) AAt >=0$.
Quindi, essendo le soluzioni massimali limitate $AA t >=0$, se $EE b>0$ tale che una soluzione massimale sia definita in $[0, b)$, essendo tale soluzione limitata, sarebbe prolungabile, e quindi avremmo un assurdo.
Questo basta o manca ancora qualcosa?
Ringrazio in anticipo

[Rigel1]

La stabilità mi sembra vada bene.
Per l'esistenza in grande, le soluzioni sono limitate visto che stanno nei sottolivelli (compatti) della funzione di Lyapunov $V$.

[emmeffe90]

Intanto ti ringrazio per la risposta
Vediamo se ho ben capito...
Fissiamo $k>0$ e consideriamo l'insieme $A_k={(x, y): V(x, y) Nel piano delle fasi $xy$ l'insieme $A_k$ è l'area racchiusa all'interno dell'ellisse di semiassi $sqrt(k)/omega, sqrt(k)$.
Consideriamo un qualunque punto $(x, y) in A_k$ tale che $EE Phi:I \to RR^2$ con $Phi(0)=(x, y)$.
Si ha $V(x, y)=0$; quindi le traiettorie non toccano mai $partial A_k$, quindi sono sempre contenute in $A_k$ e quindi sono limitate.
Giusto?

[emmeffe90]

Lo prendo come un tacito assenso...
Tanto per rimanere in tema di stabilità, vi propongo un altro esercizio.
Sia $F(s)>=0$ una funzione di classe $C^2(RR)$ che si annulla solo per $s=0$. Posto $f(s)=F'(s)$, provare che $(0, 0)$ è un equilibrio stabile per
$ { ( dot x= f(y)-f(x) ),( dot y=f(x)-f(y) ):} $ ,
ma che non è asintoticamente stabile.

Per prima cosa verifico che l'origine è un equilibrio: sia $G(x, y)=(f(y)-f(x), f(x)-f(y))$ la dinamica del sistema.
Abbiamo che $G(0, 0)=(f(0)-f(0), f(0)-f(0))=(0, 0)$ e quindi l'origine è un equilibrio.
La funzione $V(x, y)=F(x)+F(y)$ è una funzione di Lyapunov: la sua esistenza ci garantisce che $(0, 0)$ è un equilibrio stabile; non ci dice però nulla sull'asintotica stabilità.
Però abbiamo un integrale primo: infatti, essendo $dot x=-dot y$, cioè $dot x+dot y=0$, cioè ancora $d/dt(x+y)=0$, otteniamo che $E(x, y)=x+y$ è un integrale primo.
Quindi ogni orbita è contenuta in un'unica curva di livello per $E$, ovvero in ${x+y=k}$, per qualche k.
Le curve di livello sono dunque rette parallele.
Fissato un qualunque intorno di $(0, 0)$ e preso un qualunque $(x, y)$ in tale intorno, abbiamo che se $x+y=k!=0$, allora ogni traiettoria $Phi t.c. Phi(0)=(x, y)$ rimane sempre sulla retta $x+y=k$ e quindi non potrà convergere verso l'origine.
Che ne dite?

[Rigel1]

"emmeffe90":Intanto ti ringrazio per la risposta
Vediamo se ho ben capito...
Fissiamo $k>0$ e consideriamo l'insieme $A_k={(x, y): V(x, y) Nel piano delle fasi $xy$ l'insieme $A_k$ è l'area racchiusa all'interno dell'ellisse di semiassi $sqrt(k)/omega, sqrt(k)$.
Consideriamo un qualunque punto $(x, y) in A_k$ tale che $EE Phi:I \to RR^2$ con $Phi(0)=(x, y)$.
Si ha $V(x, y)=0$; quindi le traiettorie non toccano mai $partial A_k$, quindi sono sempre contenute in $A_k$ e quindi sono limitate.
Giusto?

Sì (esplicito assenso).

[Rigel1]

Mi sembra vada bene anche il secondo esercizio.