EDO lineari omogenee e spazio delle soluzioni

Cuppls1
Salve a tutti ,non mi è chiaro come le soluzioni di una equazione differenziale generino uno spazio vettoriale, o meglio, quale spazio generano.
Se ho una eq così $y+y^{\prime}+y^('')+...+y^((n))=0$ questa ha n soluzioni, che generano uno spazio vettoriare di dimensione n,
se $u_1,u_2,....,u_n$ sono le soluzioni , i vettori di n componenti linearmente indipendenti che generano lo spazio sono questi
$(u_1,u_1^{\prime},...,u_1^((n))),....,(u_n,u_n^{\prime},...,u_n^((n)))$
Se invece ho una equazione a valori vettoriali, di ordine 1 ad es. $dotbary=((0,1),(-1,0))bary$ so che questa ha 2 soluzioni , e sono 2 vettori a due componenti, perciò generano uno SV di dimensione 2; il dubbio è : se avessi una equazione a valori vettoriali (ad es. in $RR^2$) di ordine 2 quante soluzioni avrebbe e che spazio generano queste soluzioni???
Tornando a questa $dotbary=((0,1),(-1,0))bary$ , so che le soluzioni sono $(cosx,-sinx),(sinx,cosx)$
e posso anche risondurla ad un sistema di 2 equazioni di ordine 1 ${(y_1^{\prime}=y_2),(y_2^{\prime}=-y_1):}$ e con le conoscenze che ho io (poche ) sulle eq. differenziali, andrei a risolverlo col polinomio caratteristico e mi verrebbero 2 soluzioni (non vettori) , precisamente queste $e^x,e^-x$
:cry:

Risposte
dissonance
Attenzione hai sbagliato a risolvere il sistema. Tu hai risolto $y_1'=y_1, y_2'=-y_2$. Guarda bene, non è la stessa cosa

Cuppls1
Si hai ragione, ma per gli altri dubbi sai dirmi qualcosa?

quantunquemente
l'insieme delle soluzioni si munisce della struttura di spazio vettoriale in maniera naturale :ad esempio,la somma di soluzioni è una soluzione,una soluzione moltiplicata per uno scalare è una soluzione,etc...
quindi,le soluzioni sono vettori

Cuppls1
Sisi questo l ho capito..non capisco tanto bene che dimensione ha lo spazio vettoriale in alcuni casi come quello che ho scritto sopra

dissonance
Quando hai dei dubbi, riduci tutto a un sistema del primo ordine. E' cosi' che si sviluppa la teoria. Poi in pratica le equazioni sono "sempre" di due tipi: scalari del secondo ordine o sistemi del primo ordine. (Quasi tutte le equazioni fondamentali rientrano in questa casistica). Il mio consiglio quindi è di concentrarti su questi due casi per cominciare. Il resto verrà da sé.

quantunquemente
@cuppls
se hai un sistema del tipo
$ { ( y_1'=a_(11)y_1+a_(12)y_2 ),( y_2'=a_(21)y_2+a_(22)y_2 ):} $
,che in forma matriciale si può scrivere
$Y'=AY$ (*),
trovate 2 soluzioni (2colonne) indipendenti dell'equazione (*),
l'insieme di tutte e sole le soluzioni del sistema è formato da tutte le possibili combinazioni lineari delle due colonne
quindi,lo spazio vettoriale ha dimensione $2$

Cuppls1
E ad esempio questa come si risolve?
$bary''=((1,0),(0,4))bary$
Io l ho scritta in forma di sistema riconducendomi a un sistema di eq. del secondo ordine.. Cosí ${(y_1''=y_1),(y_2''=4y_2):}$ poi trovo 4 soluzioni, 2 per ogni equazione, percio lo spazio formato dalle soluzioni ha dimensione 4. Ma poi come procedo? Qual é la soluzione generale scritta in forma di vettore? Oppure farei meglio a ricondurre le equazioni tutte al primo ordine?

dissonance
Questo in realtà non è un sistema, sono due equazioni disaccoppiate. Si tratta cioè di due equazioni indipendenti tra loro. Non farti fregare.

Cuppls1
Hahahahhaha..mi sono fregato da solo perché l ho inventato io per capire!
Comunque cio che mi interessa sapere ad es. quale spazio generano le soluzioni di una equazione di ordine 2 a valori in $RR^2$ . Intanto ha 4 soluzioni? Se sí, generano uno SV a dimensione 4 , e una base di questo spazio sono le 4 soluzioni, che "formano" ognuna un vettore a 4 componenti, e queste componenti sono la soluzione e le sue derivate fino al grado 3. Giusto?

dissonance
Non proprio. Le soluzioni non formano nessun vettore, quella è un'altra cosa legata al concetto di matrice Wronskiana. I "vettori" di questo spazio vettoriale di funzioni sono le funzioni stesse, non dei vettori a un numero finito di componenti.

Cuppls1
E diciamo dal punto di vista della matrice wronskiana è corretto quello che ho detto?

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