EDO lineare del secondo ordine con termine noto sen(x)
Salve a tutti.
Ci tenevo a condividere con voi questo dubbio...
Ho la seguente equazione differenziale: \(\displaystyle y''-2y'+2y=7sen(x) \)
Nessun problema per la soluzione dell' omogenea associata, infatti risolvendo il polinomio ad essa associato ho due soluzioni coniugate complesse del tipo :\(\displaystyle \lambda=1\pm ì1 \)
Se volessi calcolare una soluzione particolare dell'equazione non omogenea, io ricorrerei al metodo della similitudine,
notando che il termine noto è del tipo \(\displaystyle sen(x)*Q(x) \) con Q(x) polinomio di grado zero.
Il punto è che io ho precedentemente ricavato che la soluzione del polinomio dell' omogenea presenta come coefficiente
della parte immaginaria 1, che è proprio il coefficiente dell'argomento del seno nel mio termine noto, quindi io so che una
soluzione della mia soluzione particolare dovrebbe essere del tipo:
\(\displaystyle y=x(a*sen(x)+b*cos(x)) \)
La mia supposizione, però cade quando nell'andare a calcolare le derivate prime e seconde di tale soluzione e andandole
sostituire nell' equazione, in modo che possa ricavare le costanti a e b, ho un sistema non risolvibile.
Invece se provassi a cercare una soluzione del tipo: \(\displaystyle y=a*sen(x)+b*cos(x) \)
otterrei un sistema risolvibile, ed inoltre il risultato combacierebbe con quello di un calcolatore on line...
Quindi vi chiedo, se gentilmente, potreste farmi capire perchè la soluzione da me cercata è errata.
Vi ringrazio per l'attenzione
Ci tenevo a condividere con voi questo dubbio...
Ho la seguente equazione differenziale: \(\displaystyle y''-2y'+2y=7sen(x) \)
Nessun problema per la soluzione dell' omogenea associata, infatti risolvendo il polinomio ad essa associato ho due soluzioni coniugate complesse del tipo :\(\displaystyle \lambda=1\pm ì1 \)
Se volessi calcolare una soluzione particolare dell'equazione non omogenea, io ricorrerei al metodo della similitudine,
notando che il termine noto è del tipo \(\displaystyle sen(x)*Q(x) \) con Q(x) polinomio di grado zero.
Il punto è che io ho precedentemente ricavato che la soluzione del polinomio dell' omogenea presenta come coefficiente
della parte immaginaria 1, che è proprio il coefficiente dell'argomento del seno nel mio termine noto, quindi io so che una
soluzione della mia soluzione particolare dovrebbe essere del tipo:
\(\displaystyle y=x(a*sen(x)+b*cos(x)) \)
La mia supposizione, però cade quando nell'andare a calcolare le derivate prime e seconde di tale soluzione e andandole
sostituire nell' equazione, in modo che possa ricavare le costanti a e b, ho un sistema non risolvibile.
Invece se provassi a cercare una soluzione del tipo: \(\displaystyle y=a*sen(x)+b*cos(x) \)
otterrei un sistema risolvibile, ed inoltre il risultato combacierebbe con quello di un calcolatore on line...
Quindi vi chiedo, se gentilmente, potreste farmi capire perchè la soluzione da me cercata è errata.
Vi ringrazio per l'attenzione
Risposte
Il fatto di provare a mettere davanti un polinomio di per se non è errato, il problema è che il polinomio deve essere completo, cioè devi avere sia il termine di primo grado $x$ che un termine costante $B$.
Cioè invece di
$y= x(a\sinx+b\cosx)$
devi provare con
$y = (Ax+B)(C\sinx+D\cosx)$
Poi, dopo che hai calcolato le derivate, che hai fatto il tuo sistema, vedi che il fattore $A$ viene zero e allora ti rendi conto che bastava $y = C\sinx+D\cosx$
Il polinomio lo devi usare solo quando il termine noto dell'eq. diff. non omogenea è soluzione dell'omogenea.
Cioè invece di
$y= x(a\sinx+b\cosx)$
devi provare con
$y = (Ax+B)(C\sinx+D\cosx)$
Poi, dopo che hai calcolato le derivate, che hai fatto il tuo sistema, vedi che il fattore $A$ viene zero e allora ti rendi conto che bastava $y = C\sinx+D\cosx$
Il polinomio lo devi usare solo quando il termine noto dell'eq. diff. non omogenea è soluzione dell'omogenea.
Ti ringrazio
premettendo che il corso di analisi da me frequentato è stato solo un corso di teoria con pochi esercizi.
Volevo aggiungere che avevo pensato ad una soluzione di quel tipo, perchè il mio professore fece cenno al fatto che:
avendo un termine noto di tipo \(\displaystyle sen(X)*Q(X) o cos(x)*Q(X) \)
e se la soluzione dell' omogenea fosse stata complessa, con coefficente dell' immaginario uguale al coefficiente dell' argomento del seno o coseno del mio termine noto, allora avremmo dovuto trovare una soluzione di quel tipo;
mentre se o la soluzione dell'omogenea fosse stata reale, o ancora il coefficiente immaginario fosse stato diverso da quello dell'argomento del seno o coseno, allora avremmo dovuto trovare una soluzione del tipo:\(\displaystyle A(x)*cosx*B(x)senx \)
ora ti chiedo, puoi smentire tale asserzione? è falso?
Dovrei attenermi alle tue direttive, cioè verificare che il termine noto sia soluzione dell' omogenea, se è così allora aggiungere un polinomio completo alla soluzione particolare.
Grazie per la pazienza
premettendo che il corso di analisi da me frequentato è stato solo un corso di teoria con pochi esercizi.
Volevo aggiungere che avevo pensato ad una soluzione di quel tipo, perchè il mio professore fece cenno al fatto che:
avendo un termine noto di tipo \(\displaystyle sen(X)*Q(X) o cos(x)*Q(X) \)
e se la soluzione dell' omogenea fosse stata complessa, con coefficente dell' immaginario uguale al coefficiente dell' argomento del seno o coseno del mio termine noto, allora avremmo dovuto trovare una soluzione di quel tipo;
mentre se o la soluzione dell'omogenea fosse stata reale, o ancora il coefficiente immaginario fosse stato diverso da quello dell'argomento del seno o coseno, allora avremmo dovuto trovare una soluzione del tipo:\(\displaystyle A(x)*cosx*B(x)senx \)
ora ti chiedo, puoi smentire tale asserzione? è falso?
Dovrei attenermi alle tue direttive, cioè verificare che il termine noto sia soluzione dell' omogenea, se è così allora aggiungere un polinomio completo alla soluzione particolare.
Grazie per la pazienza
Quello che dice il tuo prof va benissimo.
Se il termine noto è $Q(x)\sin(\betax)+P(x)\cos(\betax)$ e $i\beta$ è soluzione dell'omogenea, allora un integrale particolare va cercato nella forma $x[R(x)\sin(\betax)+S(x)\cos(\betax)]$.
Dove Q ha lo stesso grado di R e P lo stesso grado di S.
Cioè si aumentano i polinomi $R(x),S(x)$ di un grado. E' chiaro che così facendo, nei polinomi scompare il termine noto.
Se aggiungi anche il termine noto (come avevo fatto io nell'esempio), poi ti viene uguale a zero. Tutto qui, ma stiamo dicendo la stessa cosa.
Se il termine noto è $Q(x)\sin(\betax)+P(x)\cos(\betax)$ e $i\beta$ è soluzione dell'omogenea, allora un integrale particolare va cercato nella forma $x[R(x)\sin(\betax)+S(x)\cos(\betax)]$.
Dove Q ha lo stesso grado di R e P lo stesso grado di S.
Cioè si aumentano i polinomi $R(x),S(x)$ di un grado. E' chiaro che così facendo, nei polinomi scompare il termine noto.
Se aggiungi anche il termine noto (come avevo fatto io nell'esempio), poi ti viene uguale a zero. Tutto qui, ma stiamo dicendo la stessa cosa.
Ero indeciso nel replicare, perchè so che sto dando un pò fastidio con questa insistenza, il fatto è che sono vicino a capire, perciò perdonami ancora per un pò...
Voglio dire se il procedimento è giusto lo stesso:
cioè se è vero che se ho la mia \(\displaystyle i\beta \) uguale al coefficiente del termine noto \(\displaystyle senx \), posso applicare il metodo del mio prof, allora il mio esercizio dovrebbe esserne un esempio di applicazione.
e quindi coincidendo il cofficiente dell' immaginario con il coeffciente dell' argomento del seno ed essendo 7 un polinomio di grado zero, dovrei avere una soluzione in questo caso del tipo:(scusami ancora per l'insistenza, sto scoprendo le carte, cosicchè possa verificare i miei concetti errati e quelli giusti)
\(\displaystyle x(Asenx+Bcosx) \) con A e B polinomi di grado zero e quindi costanti
però è chiaro che sto sbagliando perchè fare in questo modo e fare in quest'altro :\(\displaystyle y=Acosx+bsenx \)
sono diversi.
Anche se ripeto, il mio dubbio è proprio il fatto che se credo di aver capito bene, questo dovrebbe essere il caso in cui la prima soluzione citata dovrebbe essere quella giusta
Voglio dire se il procedimento è giusto lo stesso:
cioè se è vero che se ho la mia \(\displaystyle i\beta \) uguale al coefficiente del termine noto \(\displaystyle senx \), posso applicare il metodo del mio prof, allora il mio esercizio dovrebbe esserne un esempio di applicazione.
e quindi coincidendo il cofficiente dell' immaginario con il coeffciente dell' argomento del seno ed essendo 7 un polinomio di grado zero, dovrei avere una soluzione in questo caso del tipo:(scusami ancora per l'insistenza, sto scoprendo le carte, cosicchè possa verificare i miei concetti errati e quelli giusti)
\(\displaystyle x(Asenx+Bcosx) \) con A e B polinomi di grado zero e quindi costanti
però è chiaro che sto sbagliando perchè fare in questo modo e fare in quest'altro :\(\displaystyle y=Acosx+bsenx \)
sono diversi.
Anche se ripeto, il mio dubbio è proprio il fatto che se credo di aver capito bene, questo dovrebbe essere il caso in cui la prima soluzione citata dovrebbe essere quella giusta
Nella tua equazione di partenza $\pmi$ non è una soluzione.
Avevamo $y''-2y'+2y=7senx$.
L'omogenea associata è $y''-2y'+2y=0$ a cui corrisponde una eq. di secondo grado $\lambda^2-2\lambda+2=0$.
Risolvo è trovo $\lambda=1\pmi$
Quindi soluzioni dell'omogenea associata $y''-2y'+2y=0$ sono $e^x(A\sin(x)+B\cos(x))$
Se le soluzioni $\lambda$ erano $\alpha\pmi\beta$, le soluzioni le scrivevo $e^(\alphax)(A\sin(\beta x)+B\cos(\beta x))$.
Ok: morale della storia: $7sen(x)$ non è soluzione dell'omogenea, perchè manca $e^x$.
Se ci fosse stato $7e^xsen(x)$ allora E' soluzione dell'omogenea.
Quindi NON c'è bisogno di aumentare il polinomio di grado zero "$7$" e farlo diventare $x$ per trovare una soluzione.
Avevamo $y''-2y'+2y=7senx$.
L'omogenea associata è $y''-2y'+2y=0$ a cui corrisponde una eq. di secondo grado $\lambda^2-2\lambda+2=0$.
Risolvo è trovo $\lambda=1\pmi$
Quindi soluzioni dell'omogenea associata $y''-2y'+2y=0$ sono $e^x(A\sin(x)+B\cos(x))$
Se le soluzioni $\lambda$ erano $\alpha\pmi\beta$, le soluzioni le scrivevo $e^(\alphax)(A\sin(\beta x)+B\cos(\beta x))$.
Ok: morale della storia: $7sen(x)$ non è soluzione dell'omogenea, perchè manca $e^x$.
Se ci fosse stato $7e^xsen(x)$ allora E' soluzione dell'omogenea.
Quindi NON c'è bisogno di aumentare il polinomio di grado zero "$7$" e farlo diventare $x$ per trovare una soluzione.
Chiaro.
Grazie mille Quinzio
Grazie mille Quinzio
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