EDO: formula di Duhamel

[V.C5]

Ciao a tutti.
Devo risolvere il seguente esercizio:
Dato il problema di Cauchy (PC):

$\{(x''+2x'=b(t)),(x(0)=x_0),(x'(0)=y_0):}$

con $b in C(RR), x_0, y_0 in RR$, determinarne le soluzioni e, una volta trovata la formula risolutiva, verificarne la validità.

Innanzi tutto ho che la soluzione dell'equazione omogenea associata

$x''+2x'=0$

è data da:

$\bar x(t)$=$A+B e^{-2t}$

essendo 0 e -2 le due radici del polinomio associato.

Ora, le funzioni b(t) continue in R sono parecchie, e di certo non posso limitarmi ai casi felici in cui riesco ad utilizzare il principio di somiglianza. Tuttavia so che mi viene in aiuto la formula di Duhamel, che mi garantisce che la soluzione del sistema:

$\{(x'=A(t)x+b(t)),(x(t_0)=x_0):}$

è data da:

$x(t)=X(t)X^{-1}(t_0)x_0+ \int_{t_0}^{t} X(t)X^{-1}(s) b(s) ds $

dove X è una matrice fondamentale per il sistema omogeneo associato a x'=A(t)x.

Il mio problema di Cauchy può essere riscritto così:

$\{(x'=y),(y'=-2y+b(t)),(x(0)=x_0; y(0)=y_0):}$

Per quanto detto prima e ripetendo i calcoli,(associo al sistema omogeneo la matrice A(t), trovo autovalori e autovettori, calolo $e^{At}$ trovando così un integrale generale del sistema) ottengo che:

$X(t)=((A,0),(B((1-e^{-2t})/2),Be^{-2t}))$ A, B reali

A questo punto calcolo $X^{-1}(t)=1/(ABe^{-2t}) ((Be^{-2t},0),(-B(1-e^{-2t})/2,A))$

E quindi

$X^{-1}(t_0)*x_0=1/(AB)((B,0),(-B/2,A)) ((x_0),(y_0)) = 1/(AB) ((x_0/2),(-x=/(2A) + (y_0)/B))$

Secondo me però c'è qualcosa che non va. Qualcuno mi sa dire se per adesso è giusto quanto sto facendo? Ammetto di essere un po' confusa, specie riguardo ai dati iniziali:per esempio, nel momento in cui calcolo X(t), già devo imporre le condizioni iniziali?
Apprezzo un qualsiasi chiarimento!
Grazie in anticipo

[V.C5]

Sono riuscita a fare l'esercizio quindi bo, se volete potete anche chiudere il topic