EDO e funzioni analitiche
Da un po' di tempo a questa parte trovo divertente leggere cosine circa le funzioni analitiche (anche dette di classe $C^omega$, ossia funzioni sviluppabili in serie di potenze).
Leggendo il sempreverde libricino di Cartan sulle funzioni analitiche, nell'ultimo capitolo trovo il seguente teorema di esistenza ed unicità della soluzione analitica:
La dimostrazione dell'unicità è quasi immediata; quella dell'esistenza è abbastanza semplice e si fa col metodo delle funzioni (o serie) maggioranti.
Tuttavia, lo stesso risultato è presentato sul Greco, il quale conclude la dimostrazione (uguale a quella del Cartan, eccezion fatta per alcune inezie) con la seguente frase:
La frase mi pare strana, perchè secondo me la soluzione $y(x)$ è unica anche "nel senso usuale" (cioè in $C^1$).
Mi spiego: visto che la $f$ è di classe $C^omega$ intorno a $(x_0,y_0)$, anche la derivata "imparziale" (:-D) $(partial f)/(partial y)$ è di classe $C^omega$ e perciò risulta limitata intorno a $(x_0,y_0)$; ne viene che $f$ è lipschitziana rispetto ad $y$ (uniformemente rispetto a $x$) intorno a $(x_0,y_0)$ e si può applicare l'arcinoto risultato di unicità locale (che, ad occhio, vale anche nel caso complesso).
Che ne pensate? Sbaglio?
P.S.: In $RR$ il mio ragionamento mi sa che funziona. In $CC$ non sono molto convinto, però visto che in $CC$ sono derivabili tutte e sole le funzioni analitiche, il risultato di unicità acquisito nella dimostrazione dovrebbe bastare ed avanzare... Mah!
Leggendo il sempreverde libricino di Cartan sulle funzioni analitiche, nell'ultimo capitolo trovo il seguente teorema di esistenza ed unicità della soluzione analitica:
"H. Cartan":
Siano $Omega \subseteq CC^2$ (oppure $\subseteq RR^2$) aperto non vuoto, $f:Omega \to CC$ (oppure $f:Omega to RR$) analitica in $Omega$ ed $(x_0,y_0) \in Omega$.
Il problema di Cauchy:
(PC) $\quad\{(y'=f(x,y)),(y(x_0)=y_0):}$
ha un'unica soluzione analitica in un intorno di $x_0$.
La dimostrazione dell'unicità è quasi immediata; quella dell'esistenza è abbastanza semplice e si fa col metodo delle funzioni (o serie) maggioranti.
Tuttavia, lo stesso risultato è presentato sul Greco, il quale conclude la dimostrazione (uguale a quella del Cartan, eccezion fatta per alcune inezie) con la seguente frase:
"D. Greco":
Il procedimento precedente [ossia la dimostrazione del teorema di esistenza ed unicità della soluzione analitica, n.d. Gugo] non consente però di escludere che (PC) possa ammettere soluzioni che non siano funzioni analitiche. La dimostrazione andrebbe perciò completata dimostrando che effettivamente tale circostanza non può aver luogo, ma noi, per brevità, ce ne asteniamo.
La frase mi pare strana, perchè secondo me la soluzione $y(x)$ è unica anche "nel senso usuale" (cioè in $C^1$).
Mi spiego: visto che la $f$ è di classe $C^omega$ intorno a $(x_0,y_0)$, anche la derivata "imparziale" (:-D) $(partial f)/(partial y)$ è di classe $C^omega$ e perciò risulta limitata intorno a $(x_0,y_0)$; ne viene che $f$ è lipschitziana rispetto ad $y$ (uniformemente rispetto a $x$) intorno a $(x_0,y_0)$ e si può applicare l'arcinoto risultato di unicità locale (che, ad occhio, vale anche nel caso complesso).
Che ne pensate? Sbaglio?
P.S.: In $RR$ il mio ragionamento mi sa che funziona. In $CC$ non sono molto convinto, però visto che in $CC$ sono derivabili tutte e sole le funzioni analitiche, il risultato di unicità acquisito nella dimostrazione dovrebbe bastare ed avanzare... Mah!
Risposte
Nessuno ha qualche consiglio da dispensare? O qualche opinione in merito?
Basterebbe anche un riferimento bibliografico.
@F.P., per la questione degli "up": In tre giorni il thread è finito giusto a metà di pagina 3.
Basterebbe anche un riferimento bibliografico.
@F.P., per la questione degli "up": In tre giorni il thread è finito giusto a metà di pagina 3.
"Gugo82":
@F.P., per la questione degli "up": In tre giorni il thread è finito giusto a metà di pagina 3.
Non mi pare che ciò abbia rallentato la chiusura di Guantanamo.
Né credo che abbia provocato terremoti o pestilenze.
Quindi, dov'è il problema? Potevi anche aspettare le 72 ore e sarebbe stato lo stesso.
"Fioravante Patrone":
[quote="Gugo82"]
@F.P., per la questione degli "up": In tre giorni il thread è finito giusto a metà di pagina 3.
Non mi pare che ciò abbia rallentato la chiusura di Guantanamo.
Né credo che abbia provocato terremoti o pestilenze.
Quindi, dov'è il problema? Potevi anche aspettare le 72 ore e sarebbe stato lo stesso.
[/quote]Nessun problema, F.P.; era una semplice informazione di servizio, tipo CCISS - Viaggiare Informati.
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