EDO con infinite soluzioni
Sto cercando di svolgere questo esercizio:
Provare che il Problema di Cauchy
${(y' = \sqrt{1 - y^2}), (y(0) = - 1):} $
ha infinite soluzioni; disegnare il grafico di alcune di esse.
Non riesco a trovare infinite soluzioni, bensì solo 2 diverse.
Sono partito notando che in questo caso, data la condizione iniziale richiesta, il teorema di esistenza e unicità non è applicabile (come giusto che sia) poiché cade almeno una delle sue ipotesi.
La soluzione allora non è detto che esista e non è detto che sia unica. Se però esiste almeno una soluzione, sicuramente questa dovrà essere limitata tra y=-1 e y=1.
Andiamo avanti.
Noto che la funzione costante \(\displaystyle y(x)=-1 \) è una soluzione del problema in tutto \(\displaystyle \mathbb{R} \). Voglio vedere se ne esiste almeno un'altra, facendo vedere che l'unicità non sussiste.
Se y fosse diverso da -1, potrei dividere entrambi i membri per \(\displaystyle \sqrt{1-y^2} \) e passare alle primitive. In questo caso \(\displaystyle y(0)=-1 \) quindi proseguendo per la strada appena descritta non è detto che troverei una soluzione accettabile. Ci provo lo stesso e ottengo:
\(\displaystyle \text{asin}(y(x))=x+c \)
dunque certamente \(\displaystyle x\in [-\pi/2-c,\pi/2-c] \) e \(\displaystyle y(x)=\sin(x+c) \). La condizione inziale mi costringe a:
\(\displaystyle y(x)=-\cos(x),\quad x\in [0,\pi] \)
che fortunatamente è un'altra soluzione valida del problema in \(\displaystyle [0,\pi] \) poiché soddisfa l'equazione differenziale e rispetta la condizione iniziale.
Detto questo, non riesco a trovarne altre. Dovrebbero essere infinite, a quanto pare, ma non le vedo.
Cosa mi sto perdendo?
Provare che il Problema di Cauchy
${(y' = \sqrt{1 - y^2}), (y(0) = - 1):} $
ha infinite soluzioni; disegnare il grafico di alcune di esse.
Non riesco a trovare infinite soluzioni, bensì solo 2 diverse.
Sono partito notando che in questo caso, data la condizione iniziale richiesta, il teorema di esistenza e unicità non è applicabile (come giusto che sia) poiché cade almeno una delle sue ipotesi.
La soluzione allora non è detto che esista e non è detto che sia unica. Se però esiste almeno una soluzione, sicuramente questa dovrà essere limitata tra y=-1 e y=1.
Andiamo avanti.
Noto che la funzione costante \(\displaystyle y(x)=-1 \) è una soluzione del problema in tutto \(\displaystyle \mathbb{R} \). Voglio vedere se ne esiste almeno un'altra, facendo vedere che l'unicità non sussiste.
Se y fosse diverso da -1, potrei dividere entrambi i membri per \(\displaystyle \sqrt{1-y^2} \) e passare alle primitive. In questo caso \(\displaystyle y(0)=-1 \) quindi proseguendo per la strada appena descritta non è detto che troverei una soluzione accettabile. Ci provo lo stesso e ottengo:
\(\displaystyle \text{asin}(y(x))=x+c \)
dunque certamente \(\displaystyle x\in [-\pi/2-c,\pi/2-c] \) e \(\displaystyle y(x)=\sin(x+c) \). La condizione inziale mi costringe a:
\(\displaystyle y(x)=-\cos(x),\quad x\in [0,\pi] \)
che fortunatamente è un'altra soluzione valida del problema in \(\displaystyle [0,\pi] \) poiché soddisfa l'equazione differenziale e rispetta la condizione iniziale.
Detto questo, non riesco a trovarne altre. Dovrebbero essere infinite, a quanto pare, ma non le vedo.
Cosa mi sto perdendo?
Risposte
Ciao Silent,
Riscrivo il testo dell'esercizio come prescritto dalle regole del forum, in modo che tu possa correggere l'OP eliminando quell'inutile immagine...
Provare che il Problema di Cauchy
${(y' = \sqrt{1 - y^2}), (y(0) = - 1):} $
ha infinite soluzioni; disegnare il grafico di alcune di esse.
Beh non esattamente, la condizione iniziale ti costringe a $- 1 = y(0) = sin(c) \implies c = (3\pi)/2 + 2k\pi $, $k \in \ZZ $
La soluzione $y(x) = - cos(x) $ che hai scritto si trova scegliendo il particolare valore $k = - 1 \implies c = -\pi/2 $: $y(x) = sin(x - \pi/2) = - cos(x) $
Riscrivo il testo dell'esercizio come prescritto dalle regole del forum, in modo che tu possa correggere l'OP eliminando quell'inutile immagine...
Provare che il Problema di Cauchy
${(y' = \sqrt{1 - y^2}), (y(0) = - 1):} $
ha infinite soluzioni; disegnare il grafico di alcune di esse.
"Silent":
$y(x)=sin(x+c)$. La condizione inziale mi costringe a:
$y(x)=−cos(x)$, $x \in [0,\pi]$
Beh non esattamente, la condizione iniziale ti costringe a $- 1 = y(0) = sin(c) \implies c = (3\pi)/2 + 2k\pi $, $k \in \ZZ $
La soluzione $y(x) = - cos(x) $ che hai scritto si trova scegliendo il particolare valore $k = - 1 \implies c = -\pi/2 $: $y(x) = sin(x - \pi/2) = - cos(x) $
"pilloeffe":
Riscrivo il testo dell'esercizio come prescritto dalle regole del forum, in modo che tu possa correggere l'OP eliminando quell'inutile immagine...
Scusami pilloeffe, non sapevo che non si potesse fare (colpa mia di non aver letto le regole), correggo subito.
Grazie del chiarimento sul problema.
Grazie.
"dissonance":
https://www.matematicamente.it/forum/ancora-sull-unicita-delle-soluzioni-di-eq-differenziali-t31109.html
HTH
wow, ho cliccato per curiosità sul tuo link e ho scoperto che c'era un tempo in cui facevi le domande!!
Me ne ero dimenticato
@Fioravante: quella fu una domanda proprio azzeccata, ne nacque una bellissima discussione, in quel periodo ho imparato molto da gente come te e ViciousGoblin.
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