EDO
$y'' + y = lambda y$
$y'(0)= 0$
$y'(pi)= 0$
devo trovare valori di $lambda in RR$ per cui il problema abbia soluzioni non identicamente nulle
risolvendo l'omogenea ottengo
$z = +- sqrt( lambda - 1)$
ma oltre a questo non saprei che fare...
$y'(0)= 0$
$y'(pi)= 0$
devo trovare valori di $lambda in RR$ per cui il problema abbia soluzioni non identicamente nulle
risolvendo l'omogenea ottengo
$z = +- sqrt( lambda - 1)$
ma oltre a questo non saprei che fare...
Risposte
In primis, accendi il cervello e poniti delle domande: cosa ti chiede il problema? Cosa sai fare con quella EDO? A che ti potranno mai servire le condizioni assegnate? Etc...
Poi, "risolvendo l'omogenea" non si ottiene affatto quella roba lì, che è un numero reale (quando pure lo è) e non una funzione.
L'integrale generale della EDO, al variare del parametro \(\lambda\), suppongo tu sappia trovarlo: che te ne fai?
Poi, "risolvendo l'omogenea" non si ottiene affatto quella roba lì, che è un numero reale (quando pure lo è) e non una funzione.
L'integrale generale della EDO, al variare del parametro \(\lambda\), suppongo tu sappia trovarlo: che te ne fai?
"gugo82":
Poi, "risolvendo l'omogenea" non si ottiene affatto quella roba lì, che è un numero reale (quando pure lo è) e non una funzione.
sì, mi sono espresso male, è la soluzione dell'equazione di secondo grado.
so che tutti i dati assegnati servono a trovare il valore di $lambda$, ciò che mi manca è il modo in cui usarle.
"gugo82":
L'integrale generale della EDO, al variare del parametro \(\lambda\), suppongo tu sappia trovarlo
Beh, parti da qui... Prestando la dovuta attenzione a distinguere un po' di casi (tre, per la precisione).
benissimo:
1 $z = +- sqrt( lambda - 1)$ con $lambda - 1 >0$
ho $y_1 = C_1 e^sqrt( lambda - 1) + C_2 e^(-sqrt( lambda - 1))$
2 $z = +- sqrt( lambda - 1)$ con $lambda - 1=0$
ho $y_2 = C_1 + xC_2 $
3 $z = +- sqrt( lambda - 1)$ con $lambda - 1 <0$
ho $y_3 = e^(0x)(C_1 cos(sqrt(1- lambda)) + C_2 sin(sqrt(1- lambda))$
se ho fatto bene i conti dovremmo essere arrivati fino a qui
1 $z = +- sqrt( lambda - 1)$ con $lambda - 1 >0$
ho $y_1 = C_1 e^sqrt( lambda - 1) + C_2 e^(-sqrt( lambda - 1))$
2 $z = +- sqrt( lambda - 1)$ con $lambda - 1=0$
ho $y_2 = C_1 + xC_2 $
3 $z = +- sqrt( lambda - 1)$ con $lambda - 1 <0$
ho $y_3 = e^(0x)(C_1 cos(sqrt(1- lambda)) + C_2 sin(sqrt(1- lambda))$
se ho fatto bene i conti dovremmo essere arrivati fino a qui
Ok... Adesso, come potresti usare le condizioni al contorno per determinare \(\lambda\)?
Chiamiamo in via provvisoria \(y(x;\lambda; C_1,C_2)\) l'integrale generale della tua EDO in uno qualsiasi dei tre casi.
Ricorda che, una soluzione della tua EDO è identicamente nulla se e solo se sono entrambe nulle \(C_1\) e \(C_2\) (per l'indipendenza lineare delle soluzioni dell'omogenea), i.e.:
\[
y(x;\lambda;C_1,C_2)=0 \text{ per ogni } x \quad \Leftrightarrow \quad C_1=0=C_2\; .
\]
Quindi tu vuoi determinare i valori di \(\lambda\) che soddisfano la seguente proprietà:
\[
\text{esistono } C_1,C_2 \text{ non entrambe nulle tali che } \begin{cases} y^\prime (0;\lambda; C_1,C_2)=0 \\ y^\prime (\pi;\lambda ;C_1,C_2)=0\end{cases}
\]
Nota che il sistema che figura nell'ultima condizione è un sistema lineare omogeneo di Cramer in \(C_1,C_2\) con la matrice dei coefficienti che dipende da \(\lambda\), quindi la condizione equivale a richiedere che:
\[
\text{il sistema }\begin{cases} y^\prime (0;\lambda; C_1,C_2)=0 \\ y^\prime (\pi;\lambda ;C_1,C_2)=0\end{cases} \text{ ha soluzioni non banali.}
\]
Ma un sistema omogeneo di Cramer ha soluzioni non banali, cioè non nulle, se e solo se...
Chiamiamo in via provvisoria \(y(x;\lambda; C_1,C_2)\) l'integrale generale della tua EDO in uno qualsiasi dei tre casi.
Ricorda che, una soluzione della tua EDO è identicamente nulla se e solo se sono entrambe nulle \(C_1\) e \(C_2\) (per l'indipendenza lineare delle soluzioni dell'omogenea), i.e.:
\[
y(x;\lambda;C_1,C_2)=0 \text{ per ogni } x \quad \Leftrightarrow \quad C_1=0=C_2\; .
\]
Quindi tu vuoi determinare i valori di \(\lambda\) che soddisfano la seguente proprietà:
\[
\text{esistono } C_1,C_2 \text{ non entrambe nulle tali che } \begin{cases} y^\prime (0;\lambda; C_1,C_2)=0 \\ y^\prime (\pi;\lambda ;C_1,C_2)=0\end{cases}
\]
Nota che il sistema che figura nell'ultima condizione è un sistema lineare omogeneo di Cramer in \(C_1,C_2\) con la matrice dei coefficienti che dipende da \(\lambda\), quindi la condizione equivale a richiedere che:
\[
\text{il sistema }\begin{cases} y^\prime (0;\lambda; C_1,C_2)=0 \\ y^\prime (\pi;\lambda ;C_1,C_2)=0\end{cases} \text{ ha soluzioni non banali.}
\]
Ma un sistema omogeneo di Cramer ha soluzioni non banali, cioè non nulle, se e solo se...
vediamo se siamo in sincronia:
io mi concentro semplicemente sul fatto che l'integrale generale della EDO non sia identicamnete nullo, ovvero $C_1$ e $C_2$
devono essere non entrambe nulle. quindi imposto un sistema con le condizioni di cauchy e devo imporre che il determinante sia non nullo (se i miei studi mi assistono)
quindi da queste ultime condizioni dovrei ricavarmi i valori di $lambda$
tutto corretto?
esistono anche altri modi?
io mi concentro semplicemente sul fatto che l'integrale generale della EDO non sia identicamnete nullo, ovvero $C_1$ e $C_2$
devono essere non entrambe nulle. quindi imposto un sistema con le condizioni di cauchy e devo imporre che il determinante sia non nullo (se i miei studi mi assistono)
quindi da queste ultime condizioni dovrei ricavarmi i valori di $lambda$
tutto corretto?
esistono anche altri modi?
"Mrs92":
io mi concentro semplicemente sul fatto che l'integrale generale della EDO non sia identicamnete nullo, ovvero $C_1$ e $C_2$
devono essere non entrambe nulle. quindi imposto un sistema con le condizioni di cauchy e devo imporre che il determinante sia non nullo (se i miei studi mi assistono)
quindi da queste ultime condizioni dovrei ricavarmi i valori di $lambda$
tutto corretto?
Esatto.
"Mrs92":
esistono anche altri modi?
No.
ok, ora viene la parte computazionale...... come procedo?
come imposto la matrice?
come imposto la matrice?
Beh, prendi ad esempio \(\lambda>1\) cosicché l'integrale generale \(y_1(x;\lambda;C_1,C_2)\) è quello che hai chiamato \(y_1(x)\).
Sostituisci \(x=0\) ed \(x=\pi\), imponi le condizioni al bordo e fai due conti.
Sostituisci \(x=0\) ed \(x=\pi\), imponi le condizioni al bordo e fai due conti.
ok, quindi devo dividermi il problema nei tre casi, derivare le varie $y(x)$ sostituire le condizioni di cauchy e poi procedere con la matrice giusto?
E sì... L'avevamo già assodato tre post fa, mi sembra.
correggimi se sbaglio:
1° caso
$y'(x) = sqrt(lambda -1)C_1 e^(sqrt(lambda -1)x) - sqrt(lambda -1)C_2 e^(-sqrt(lambda -1)x)$
sostituisco:
$0 = sqrt(lambda -1) C_1 - sqrt(lambda -1)C_2$
da cui $C_1 = C_2$
poi:
$0 = sqrt(lambda -1)C_1 e^(sqrt(lambda -1)pi) - sqrt(lambda -1)C_2 e^(-sqrt(lambda -1)pi)$
da cui
$0 = C_1 e^(sqrt(lambda -1)pi) - C_2 e^(-sqrt(lambda -1)pi)$
$C_1 e^(2sqrt(lambda -1)pi) = C_2 $
con la matrice dovrei ottenere $lambda != 1$
corretto?
1° caso
$y'(x) = sqrt(lambda -1)C_1 e^(sqrt(lambda -1)x) - sqrt(lambda -1)C_2 e^(-sqrt(lambda -1)x)$
sostituisco:
$0 = sqrt(lambda -1) C_1 - sqrt(lambda -1)C_2$
da cui $C_1 = C_2$
poi:
$0 = sqrt(lambda -1)C_1 e^(sqrt(lambda -1)pi) - sqrt(lambda -1)C_2 e^(-sqrt(lambda -1)pi)$
da cui
$0 = C_1 e^(sqrt(lambda -1)pi) - C_2 e^(-sqrt(lambda -1)pi)$
$C_1 e^(2sqrt(lambda -1)pi) = C_2 $
con la matrice dovrei ottenere $lambda != 1$
corretto?
Non si capisce nulla di ciò che hai fatto.
Ho fatto la derivata di $y(x)_1$ ho sostituito le condizioni di cauchy e ho fatto la matrice...
Per semplicità, poni \(\mu=\lambda -1 >0\), cosicché:
\[
y_1(x;\mu;C_1,C_2)=C_1e^{\sqrt{\mu}\ x}+C_2e^{-\sqrt{\mu}\ x}
\]
è l'integrale generale da considerare.
Derivando si trova:
\[
y_1^\prime (x;\mu;C_1,C_2) = \sqrt{\mu}\ (C_1e^{\sqrt{\mu}\ x} -C_2e^{-\sqrt{\mu}\ x})
\]
ed imponendo le condizioni al bordo si ottiene il sistema:
\[
\tag{S} \begin{cases}
C_1-C_2=0\\
\sqrt{\mu}\ e^{\sqrt{\mu}\ \pi} C_1-\sqrt{\mu}\ e^{-\sqrt{\mu}\ \pi}C_2=0
\end{cases}
\]
Quindi per \(\mu >0\) il determinante della matrice associata è:
\[
\begin{vmatrix} 1 & -1\\
\sqrt{\mu}\ e^{\sqrt{\mu}\ \pi} & -\sqrt{\mu}\ e^{-\sqrt{\mu}\ \pi}
\end{vmatrix} = \sqrt{\mu} \left( e^{\sqrt{\mu}\ \pi} - e^{-\sqrt{\mu}\ \pi} \right) = \underbrace{\sqrt{\mu}}_{\color{red}{>0}}\ \underbrace{e^{\sqrt{\mu}\ \pi}}_{\color{red}{>0}}\ \underbrace{\left( e^{2\sqrt{\mu}\ \pi}-1\right)}_{\color{red}{>e^0-1=0}}
\]
e si vede che esso è sempre \(> 0\); pertanto il sistema (S) ammette solo la soluzione banale per \(\mu >0\).
Ne consegue che il tuo problema non ammette soluzioni non banali per \(\lambda >1\).
Ora, rimane da stabilire cosa accade per \(\lambda=1\) e \(\lambda <1\)... Riesci a farlo con ordine e consequenzialità?
\[
y_1(x;\mu;C_1,C_2)=C_1e^{\sqrt{\mu}\ x}+C_2e^{-\sqrt{\mu}\ x}
\]
è l'integrale generale da considerare.
Derivando si trova:
\[
y_1^\prime (x;\mu;C_1,C_2) = \sqrt{\mu}\ (C_1e^{\sqrt{\mu}\ x} -C_2e^{-\sqrt{\mu}\ x})
\]
ed imponendo le condizioni al bordo si ottiene il sistema:
\[
\tag{S} \begin{cases}
C_1-C_2=0\\
\sqrt{\mu}\ e^{\sqrt{\mu}\ \pi} C_1-\sqrt{\mu}\ e^{-\sqrt{\mu}\ \pi}C_2=0
\end{cases}
\]
Quindi per \(\mu >0\) il determinante della matrice associata è:
\[
\begin{vmatrix} 1 & -1\\
\sqrt{\mu}\ e^{\sqrt{\mu}\ \pi} & -\sqrt{\mu}\ e^{-\sqrt{\mu}\ \pi}
\end{vmatrix} = \sqrt{\mu} \left( e^{\sqrt{\mu}\ \pi} - e^{-\sqrt{\mu}\ \pi} \right) = \underbrace{\sqrt{\mu}}_{\color{red}{>0}}\ \underbrace{e^{\sqrt{\mu}\ \pi}}_{\color{red}{>0}}\ \underbrace{\left( e^{2\sqrt{\mu}\ \pi}-1\right)}_{\color{red}{>e^0-1=0}}
\]
e si vede che esso è sempre \(> 0\); pertanto il sistema (S) ammette solo la soluzione banale per \(\mu >0\).
Ne consegue che il tuo problema non ammette soluzioni non banali per \(\lambda >1\).
Ora, rimane da stabilire cosa accade per \(\lambda=1\) e \(\lambda <1\)... Riesci a farlo con ordine e consequenzialità?
(one question: è errore semplificare per $sqrt(mu)$ nella seconda equazione del sistema?)
cmq procedo:
$lambda = 0$
$y_2 = (C_1 + xC_2)e^(0x)$
$y'_2 = C_2$
qui direi che ha soluzione non banale per $lambda = 1$ .......... giusto?
cmq procedo:
$lambda = 0$
$y_2 = (C_1 + xC_2)e^(0x)$
$y'_2 = C_2$
qui direi che ha soluzione non banale per $lambda = 1$ .......... giusto?
Ma scrivere per bene le cose, invece che buttare formule a casaccio, è davvero tanto difficile?
$lambda -1 =0$
$y_2 = (C_1 + xC_2)e^(0x)$
è l'integrale generale da considerare.
Derivando si trova:
$y'_2 = C_2$
ed imponendo le condizioni al bordo si ottiene il sistema:
$0 = C_2$
qui direi che ha soluzione non banale per $lambda = 1$ .......... giusto?
$y_2 = (C_1 + xC_2)e^(0x)$
è l'integrale generale da considerare.
Derivando si trova:
$y'_2 = C_2$
ed imponendo le condizioni al bordo si ottiene il sistema:
$0 = C_2$
qui direi che ha soluzione non banale per $lambda = 1$ .......... giusto?
Esatto.
Per \(\lambda=1\) il problema al contorno ha come soluzioni tutte e sole le funzioni costanti in \([0,\pi]\).
Ora viene il caso più interessante, cioè \(\lambda<1\) (ossia \(\mu<0\)).
Qui, se non fai i conti con ordine, rischi di perderti... Per questo ho insistito tanto su questo punto, finora.
P.S.: Ovviamente, semplificare \(\sqrt{\lambda-1}=\sqrt{\mu}\) nel sistema che si ottiene per \(\lambda >1\) (ossia \(\mu >0\)) non è reato.
Per \(\lambda=1\) il problema al contorno ha come soluzioni tutte e sole le funzioni costanti in \([0,\pi]\).
Ora viene il caso più interessante, cioè \(\lambda<1\) (ossia \(\mu<0\)).
Qui, se non fai i conti con ordine, rischi di perderti... Per questo ho insistito tanto su questo punto, finora.
P.S.: Ovviamente, semplificare \(\sqrt{\lambda-1}=\sqrt{\mu}\) nel sistema che si ottiene per \(\lambda >1\) (ossia \(\mu >0\)) non è reato.
vediamo se ho compreso tutto:
per $lambda>1$ non ho valori che soddisfano le richieste, quindi ottengo solo soluzioni identicamente nulle
per $lambda=1$ ho solo come soluzioni le funzioni costanti, che nel caso delle condizioni di cauchy soddisfano la richiesta iniziale
RIGHT?
ora
per $lambda<1$
$y_3 = (C_1cos(sqrt(1-lambda)x) + C_2sin(sqrt(1-lambda)x) )e^(0x)$
è l'integrale generale da considerare.
Derivando si trova:
$y'_3 = (-sqrt(1-lambda)C_1sin(sqrt(1-lambda)x) + sqrt(1-lambda)C_2cos(sqrt(1-lambda)x))$
ed imponendo le condizioni al bordo si ottiene il sistema:
$0= sqrt(1-lambda)C_2$
$ 0 = (-sqrt(1-lambda)C_1sin(sqrt(1-lambda)pi) + sqrt(1-lambda)C_2cos(sqrt(1-lambda)pi))$
qui facendo la matrice direi che ha soluzione non banale per $lambda = 1$ .......... giusto?
per $lambda>1$ non ho valori che soddisfano le richieste, quindi ottengo solo soluzioni identicamente nulle
per $lambda=1$ ho solo come soluzioni le funzioni costanti, che nel caso delle condizioni di cauchy soddisfano la richiesta iniziale
RIGHT?
ora
per $lambda<1$
$y_3 = (C_1cos(sqrt(1-lambda)x) + C_2sin(sqrt(1-lambda)x) )e^(0x)$
è l'integrale generale da considerare.
Derivando si trova:
$y'_3 = (-sqrt(1-lambda)C_1sin(sqrt(1-lambda)x) + sqrt(1-lambda)C_2cos(sqrt(1-lambda)x))$
ed imponendo le condizioni al bordo si ottiene il sistema:
$0= sqrt(1-lambda)C_2$
$ 0 = (-sqrt(1-lambda)C_1sin(sqrt(1-lambda)pi) + sqrt(1-lambda)C_2cos(sqrt(1-lambda)pi))$
qui facendo la matrice direi che ha soluzione non banale per $lambda = 1$ .......... giusto?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo