EDO
$y'' + y = lambda y$
$y'(0)= 0$
$y'(pi)= 0$
devo trovare valori di $lambda in RR$ per cui il problema abbia soluzioni non identicamente nulle
risolvendo l'omogenea ottengo
$z = +- sqrt( lambda - 1)$
ma oltre a questo non saprei che fare...
$y'(0)= 0$
$y'(pi)= 0$
devo trovare valori di $lambda in RR$ per cui il problema abbia soluzioni non identicamente nulle
risolvendo l'omogenea ottengo
$z = +- sqrt( lambda - 1)$
ma oltre a questo non saprei che fare...
Risposte
"Mrs92":
per $lambda>1$ non ho valori che soddisfano le richieste, quindi ottengo solo soluzioni identicamente nulle
per $lambda=1$ ho solo come soluzioni le funzioni costanti, che nel caso delle condizioni di cauchy soddisfano la richiesta iniziale
Correzione:
"Mrs92":
nessun $lambda>1$ soddisfa le richieste, perchè imponendo le condizioni al bordo ottengo solo la soluzione identicamente nulla
$lambda=1$ è un valore che soddisfa le richieste, perché in corrispondenza di tale valore trovo come soluzioni non banali tutte le funzioni costanti non nulle (in quanto esse soddisfano il problema al contorno)
il che mostra che, seppure tu abbia compreso il senso dei passaggi, stenti ad esprimerlo correttamente.
Ricorda che quando scrivi di Matematica (così come di ogni altra cosa), devi cercare un filo conduttore ed una logica per esprimere i tuoi concetti; altrimenti non ti capisce nessuno, menchemeno i tuoi docenti.
Per quanto riguarda il resto: fai i conti col determinante, non tirare ad indovinare...
E ricorda che sei nel caso \(\lambda<1\) (quindi non può essere \( \lambda =1\)).
P.S.: Forse ti conviene introdurre una variabile ausiliaria, i.e. \(\omega =\sqrt{1-\lambda}\).
non tiro ad indovinare....
facendo il determinante della matrice ottengo $sin(w pi)$ che ha soluzione banale per $sin(w pi)!=0$
quindi $w!=0 $ cioè $lambda !=1$ ma visto che $lambda <1$ allora ha solo soluzioni banali
right?
facendo il determinante della matrice ottengo $sin(w pi)$ che ha soluzione banale per $sin(w pi)!=0$
quindi $w!=0 $ cioè $lambda !=1$ ma visto che $lambda <1$ allora ha solo soluzioni banali
right?
In verità non mi risulta che l'equazione \(\sin x=0\) abbia solo la soluzione nulla...
P.S.: Ho modificato il post precedente. Leggilo con attenzione.
P.S.: Ho modificato il post precedente. Leggilo con attenzione.
facendo il determinante della matrice ottengo $sin(w pi)$ che ha soluzione banale per $sin(w pi)!= 0 $
quindi "anche" $w!=pi $ cioè $lambda != pi^2 + 1$ ma visto che $lambda <1$ allora ha solo soluzioni banali
quindi "anche" $w!=pi $ cioè $lambda != pi^2 + 1$ ma visto che $lambda <1$ allora ha solo soluzioni banali
In verità non mi risulta che le uniche soluzioni di \(\sin x=0\) siano \(0\) e \(\pi\)...
$0 + k pi$ con $k in NN$?
Perchè, le soluzioni negative ti fanno ribrezzo?
$0 + k pi$ con $k in ZZ$ ?
Finalmente siamo riusciti a scrivere tutte le soluzioni di \(\sin x=0\)...
Quindi il determinante si annulla per \(\omega \pi =k\pi\) con \(k\in \mathbb{Z}\), ossia \(\omega=k\); ma \(\omega =\sqrt{1-\lambda}>0\), quindi \(\omega =k \) con \(k\in \mathbb{N}\), ossia \(\omega =1,2,3,\ldots \).
Per tali valori il tuo problema al contorno ha soluzioni non banali (riesci a determinarle?) e perciò i valori:
\[
\lambda = 1-k^2
\]
con \(k\in \mathbb{N}\) soddisfano le richieste del problema.
Ricapitolando, le soluzioni del problema iniziale sono \(\lambda=1\) e \(\lambda =1-k^2\) con \(k=1,2,3,\ldots\); anzi, dato che \(1=1-0^2\), puoi scrivere direttamente che le soluzioni sono del tipo:
\[
\lambda_k=1-k^2 \quad \text{ con } k=0,1,2,3,\ldots
\]
Quindi il determinante si annulla per \(\omega \pi =k\pi\) con \(k\in \mathbb{Z}\), ossia \(\omega=k\); ma \(\omega =\sqrt{1-\lambda}>0\), quindi \(\omega =k \) con \(k\in \mathbb{N}\), ossia \(\omega =1,2,3,\ldots \).
Per tali valori il tuo problema al contorno ha soluzioni non banali (riesci a determinarle?) e perciò i valori:
\[
\lambda = 1-k^2
\]
con \(k\in \mathbb{N}\) soddisfano le richieste del problema.
Ricapitolando, le soluzioni del problema iniziale sono \(\lambda=1\) e \(\lambda =1-k^2\) con \(k=1,2,3,\ldots\); anzi, dato che \(1=1-0^2\), puoi scrivere direttamente che le soluzioni sono del tipo:
\[
\lambda_k=1-k^2 \quad \text{ con } k=0,1,2,3,\ldots
\]
$y_3 = (C_1cos(k x) $ ?
Esatto.
La generica soluzione non banale associata a \(\lambda =\lambda_k=1-k^2\) (con \(k=0,1,2,\ldots\)) è:
\[
y(x;\lambda_k;C_1)= C_1\ \cos (kx)
\]
con \(C_1\neq 0\) (nota che, nel caso particolare \(\lambda=\lambda_0=1\), tale funzione si riduce alla funzione identicamente uguale a \(C_1\)).
P.S.: Ah, tanto per essere precisi, quelle che imponi nel problema non si chiamano condizioni di Cauchy, ma condizioni di Neumann (da leggersi "Noiman") agli estremi dell'intervallo.
La generica soluzione non banale associata a \(\lambda =\lambda_k=1-k^2\) (con \(k=0,1,2,\ldots\)) è:
\[
y(x;\lambda_k;C_1)= C_1\ \cos (kx)
\]
con \(C_1\neq 0\) (nota che, nel caso particolare \(\lambda=\lambda_0=1\), tale funzione si riduce alla funzione identicamente uguale a \(C_1\)).
P.S.: Ah, tanto per essere precisi, quelle che imponi nel problema non si chiamano condizioni di Cauchy, ma condizioni di Neumann (da leggersi "Noiman") agli estremi dell'intervallo.
quindi abbiamo finito?
grazie per l'aiuto e per la pazienza gargantuesca...
grazie per l'aiuto e per la pazienza gargantuesca...
Certo che abbiamo finito!
Prego.
Prego.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo