EDO

[Controllore1]

Ragazzi, scusate la domanda stupida che vi farò adesso, ma io proprio non riesco a capire... Allora, data un'equazione differenziale tipo $ y'=(4+y^2)x $, quando vado a risolvere l'integrale, dove devo mettere la costante C? Al primo integrale o al secondo? Perchè se metto entrambe le costanti, poi ottengo C1 e C2 che non so da che parte sommarle (a destra o a sinistra dell'equazione) per dar vita a C o a -C... Perchè se mi torna -C avrò una soluzione diversa rispetto a quella che otterrei con C!!!
E poi una seconda domanda: la mia professoressa, applicando la formula risolutiva (tipo $ y=(C+B(x))exp(-A(x)) $ ad un'altra equazione differenziale (non sto parlando di quella a variabili separate che vi ho scritto prima, ovviamente) mette nei vari integrali degli estremi mentre io risolvo l'equazione come se la formula risolutiva presentasse esclusivamente integrali indefiniti... Perchè rende definiti l'integrali della formula??? Dove tira fuori i vari estremi (tipo $ int_(1)^(y(x)) f(x) $ oppure $ int_(0)^(y(x)) f(x) $)??? Scusate la stupidità di queste domande ma proprio non ho capito!!! Grazie mille...

[Antimius]

Anche se hai due costanti, non ti creano problemi:
[tex]$y+c_1=f(x)+c_2 \Leftrightarrow y=f(x)+c$[/tex] dove si è posto [tex]$c:=c_2-c_1$[/tex], considerata l'arbitrarietà delle due costanti.

Per poter sfruttare l'integrazione definita, devi conoscere il "valore iniziale" [tex]$y_0:=y(x_0)$[/tex], ovvero devi aver assegnato un problema di Cauchy.
Ad esempio nel tuo caso, avresti: [tex]$\int^x _{x_0} \frac{y'(t)}{4+y^2(t)}dt=\int^x _{x_0} t dt$[/tex]. Svolto l'integrale a primo membro, ti verranno dei termini con [tex]$y(x_0)$[/tex]. Ma se è noto il valore iniziale, puoi sostituirlo e trovare la soluzione particolare.

[Controllore1]

Grazie, sei stato chiarissimo!!!