EDL a coefficienti variabili
Salve a tutti, nel preparmi per l'esame scritto di Analisi II, spulciando fra i testi dei compiti assegnati dal mio prof mi sono imbattuto in questo esercizio : Provare che la soluzione del problema di Cauchy $\{(y^"(4)"-x^2y=sin^2x),(y(0) = 1),(y'(0) = 0),(y''(0) = 0),(y'''(0) = 0):}$ ha un minimo relativo in $x=0$.
Ora io suppongo che per provare questa affermazione bisogna risolvere il problema trovando la soluzione, la funzione incognita $phi(x)$. Il fatto é che non ho mai risolto equazioni del quarto ordine di questo genere prima d'ora, l'unica idea che mi é venuta in mente é stato scrivere il sistema equivalente $\{(z_1'=z_2),(z_2'=z_3),(z_3'=z_4),(z_4'=x^2z_1+sin^2x):}$ che però poi non so risolvere...non so proprio che pesci prendere...potete aiutarmi?
Ora io suppongo che per provare questa affermazione bisogna risolvere il problema trovando la soluzione, la funzione incognita $phi(x)$. Il fatto é che non ho mai risolto equazioni del quarto ordine di questo genere prima d'ora, l'unica idea che mi é venuta in mente é stato scrivere il sistema equivalente $\{(z_1'=z_2),(z_2'=z_3),(z_3'=z_4),(z_4'=x^2z_1+sin^2x):}$ che però poi non so risolvere...non so proprio che pesci prendere...potete aiutarmi?
Risposte
"Genryuusai":
Provare che la soluzione del problema di Cauchy $\{(y^"(4)"-x^2y=sin^2x),(y(0) = 1),(y'(0) = 0),(y''(0) = 0),(y'''(0) = 0):}$ ha un minimo relativo in $x=0$.
Ora io suppongo che per provare questa affermazione bisogna risolvere il problema trovando la soluzione, la funzione incognita $phi(x)$.
Supponi sbagliato...
Per risolvere devi fare uno studio qualitativo della soluzione (che almeno localmente sai esistere).
Insomma, l'equazione ti dice che:
[tex]$y^{(4)}(x) =\sin^2 x+x^2\ y(x)$[/tex]
intorno a [tex]$0$[/tex]; ma intorno a [tex]$0$[/tex] si ha [tex]$y(x)\approx 1$[/tex] (per continuità), quindi in particolare [tex]$y(x)>0$[/tex]: ne viene [tex]$y^{(4)} (x)>0$[/tex] intorno a [tex]$0$[/tex], ossia [tex]$y^{(3)} (x)$[/tex] crescente intorno a [tex]$0$[/tex].
Quindi in particolare [tex]$y^{(3)} (x)<0$[/tex] in un intorno sinistro di [tex]$0$[/tex] ed [tex]$y^{(3)} (x)>0$[/tex] in un intorno destro di [tex]$0$[/tex]; quindi [tex]$y^{(2)} (x)$[/tex] è decrescente a sinistra di [tex]$0$[/tex], perciò [tex]$y^{(2)} (x) >0$[/tex] a sinistra di [tex]$0$[/tex], e [tex]$y^{(2)} (x)$[/tex] è crescente a destra di zero, perciò [tex]$y^{(2)} (x)>0$[/tex] a destra di zero (ricorda la condizione iniziale [tex]$y^{(2)} (0)=0$[/tex]).
A questo punto hai concluso, perchè dalle considerazioni circa il segno di [tex]$y^{(2)}$[/tex] concludi che [tex]$y$[/tex] è convessa intorno a [tex]$0$[/tex].
Grazie mille Gugo, chiarissima spiegazione (come sono sempre abituato a leggere nei tuoi messaggi di risposta). Quindi a questo problema si poteva rispondere con considerazioni qualitative, che ragionamento 
. Se ho capito bene dopo che si arriva a concludere sul segno di $y''(x)>=0$ in un intorno di $0$ si ripete lo stesso ragionamento già fatto per la $y'''(x)$ cioè che $y'(x)<0$ in un intorno sinistro di $0$ e $y'(x)>0$ in un intorno destro, quindi segue che $0$ è di minimo per $y(x)$, giusto?
. Se ho capito bene dopo che si arriva a concludere sul segno di $y''(x)>=0$ in un intorno di $0$ si ripete lo stesso ragionamento già fatto per la $y'''(x)$ cioè che $y'(x)<0$ in un intorno sinistro di $0$ e $y'(x)>0$ in un intorno destro, quindi segue che $0$ è di minimo per $y(x)$, giusto?
Beh, se proprio vuoi finire come hai iniziato, sì.
Però una volta che hai stabilito che la tua funzione (che è localmente [tex]$C^4$[/tex] intorno a [tex]$0$[/tex]) è convessa, la condizione iniziale [tex]$y^\prime (0)=0$[/tex] ti dice che [tex]$0$[/tex] è un punto critico; ma una funzione convessa regolare può solo avere minimo in un punto critico.
Però una volta che hai stabilito che la tua funzione (che è localmente [tex]$C^4$[/tex] intorno a [tex]$0$[/tex]) è convessa, la condizione iniziale [tex]$y^\prime (0)=0$[/tex] ti dice che [tex]$0$[/tex] è un punto critico; ma una funzione convessa regolare può solo avere minimo in un punto critico.
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