Eccoci ad un altro integrale

lex1531
determinare l'integrale generale di $y'=(x-1)y/x$

allora è una funzione omogenea, quindi della forma $y'=a(x)y$ cioè $y'=((x-1)/x)y$

quindi trovo una primitiva di $(x-1)/x$
$int(x-1)/x=intx/x-1/x$ posso farlo?
$int1-int1/x=x-ln|x|$

secondo me già ci sono abbastanza errori quindi mi fermo :D

Risposte
robe921
ti sei dimenticato $\int (y')/y dy=log|y|+c$ ma penso sia ovvio

Palliit
A parte la mancanza di parentesi, dei differenziali e della costante arbitraria non ci sono altri errori ;)

Se hai un dubbio sul risultato del calcolo di un integrale indefinito puoi sempre provare a derivare la funzione che hai ottenuto: se ti risulta la funzione integranda allora hai integrato correttamente. Oppure hai sbagliato sia nell'integrare sia nel derivare :-D . Ciao

lex1531
quindi è giusta come soluzione: $x-ln|x|+c$ ??

Plepp
Ciao :D innanzitutto, che io sappia, una funzione non può essere omogenea (nel senso che non ho mai sentito parlare di funzione omogenea); si parla invece, come in questo caso, di equazione omogenea; inoltre vedi subito che è un'equazione a variabili separabili. Procedi così:
\[y'=(x-1)\dfrac{y}{x}\implies \dfrac{y'}{y}=\dfrac{(x-1)}{x}\]
Ora prendi l'integrale indefinito di ambo i membri
\[\int \dfrac{y'}{y}\,dx=\int \dfrac{(x-1)}{x}\,dx\]
Nell'integrale a sinistra si utilizza il cambio di variabile (sempre, non solo in qst esercizio):
\[y=y(x)\qquad dy=y'(x)\,dx \]
Quindi riscriviamo il bordello precedente come
\[\int \dfrac{dy}{y}=\int \dfrac{(x-1)}{x}\,dx\]
e penso che tu sappia calcolare questi due integrali...

Dopodichè, ti ritroverai in una situazione del genere
\[F(y)=G(x)\]
Da qui devi cercare di "ricavare la $y$", che la (le) soluzione(i) della tua equazione differenziale.

Ricorda di scrivere una sola volta la costante di integrazione $C$, poichè quella che viene fuori dal primo integrale può essere "accorpata" a quella che vien fuori dal secondo.

Ciao :-D

Giuseppe

Plepp
Si, mi trovo mettendo a primo membro l'integrale che ha calcolato robe92 e al secondo quello che hai calcolato tu ;) ora devi ricavare la $y$: prova! ;)

lex1531
quindi:
il primo integrale viene $ln|y|+c$
il secondo $x-ln|x|+c$
quindi ho: $ln|y|=x-ln|x|+c$

io farei(tralasciando il $+c$): $lnsqrty^2=x-lnsqrtx^2rarr1/2lny^2=x-1/2lnx^2rarrlny^2=2x-lnx^2$ mi sono complicato la vita e basta?

i logaritmi non mi sono molto simpatici!

Plepp
Ti avevo consigliato di scriverla solo a destra la costante d'integrazione. Questo perchè se hai
\[\ln|y|+c_1=x-\ln|x|+c_2\]
(le costanti sono diverse, se no s'annullano) portando a destra $c_1$ ottieni
\[\ln|y|=x-\ln|x|+c_2-c_1\]
Ora, questo $c_2-c_1$ è comunque una costante, un numero, per cui scriviamo sinteticamente
\[\ln|y|=x-\ln|x|+c\]
avendo posto
\[c:=c_2-c_1\]

Per trovare la $y$ invece, passa agli esponenziali...

lex1531
non credo di saper passare agli esponenziali o forse non ho capito bene cosa intendi

Plepp
Aspe vado a comprare le sigarette (sperando che il tabaccaio sia aperto) e ne parliamo :-D

lex1531
"Plepp":
Aspe vado a comprare le sigarette (sperando che il tabaccaio sia aperto) e ne parliamo :-D

che mito! sono con te! :D

robe921
$log|y|=x-log|x|+c\implies |y|=e^(x-log|x|+c)$

lex1531
"robe92":
$log|y|=x-log|x|+c\implies |y|=e^(x-log|x|+c)$


ok robe fino a qui ci sono, mo il libro mi da come soluzione $(e^x)/x$ come ci si arriva?

Plepp
"robe92":
$log|y|=x-log|x|+c\implies |y|=e^(x-log|x|+c)$

Ecco appunto; di solito quando ti trovi in una situazione tipo
\[|y|=f(x) \]
concludi che
\[y=\pm f(x)\]
In questo caso
\[y=\pm e^{x-\log|x|+c}\]
Inoltre se consideri che
\[e^{x-\log|x|+c}=e^{x-\log|x|}\cdot e^c\]
ponendo $k:=e^c$ (un numero) puoi riscrivere il tutto come
\[y=\pm ke^{x-\log|x|}\]
Ora possiamo toglierci anche quell'antipatico $\pm$ dalle scatole: considerando che $\pm k$ è pur sempre una costante, scriviamo (ponendo $\alpha=\pm k$)
\[y=\alpha e^{x-\log|x|}\]
Il "ruolo" di $\alpha$ è identico a quello di $c$.

N.B. Questo procedimento è facoltativo, nel senso che ti semplifica la vita...ma se tu porti all'esame la soluzione
\[y=\pm e^{x-\log|x|+c}\]
nessuno avrà il diritto di contraddirti :-D

Plepp
"lex153":
[quote="robe92"]$log|y|=x-log|x|+c\implies |y|=e^(x-log|x|+c)$


ok robe fino a qui ci sono, mo il libro mi da come soluzione $(e^x)/x$ come ci si arriva?[/quote]

se la soluzione è questa, allora stai risolvendo un problema di Cauchy, altrimenti ci sarebbe un $c$ in giro...

lex1531
hai ragione robe è tutto moltiplicato per $c$

ok giuseppe tutto chiaro, quindi la soluzione del libro è solo un "aggiustare" questa soluzione che però è giusta?
prese le sigarette? :D

Palliit
"lex153":
il libro mi da come soluzione $(e^x)/x$ come ci si arriva?


[tex]e^{x-\ln\left | x \right |}=e^{x}\cdot e^{-\ln\left | x \right |}=\frac{e^x}{e^{\ln\left | x \right |}}=\frac{e^x}{\left | x \right |}=\pm\frac{e^x}{x}[/tex],

dove si usa la definizione di logaritmo: [tex]e^{a}=b\Leftrightarrow a=\ln b[/tex] ed in ultima analisi il segno $\pm$ può essere "inglobato" nella costante arbitraria come ti ha già spiegato Plepp. Ciao

Plepp
Si si 4 pacchi :-D :-D

Comunque il tuo libro ha fatto questo (partiamo da qui):
\[y=\pm k\cdot e^{x-\ln|x|}=\pm k\cdot\dfrac{e^x}{e^{\ln|x|}}=\pm k\cdot\dfrac{e^x}{|x|}\]
Poi ha "accorpato" il $\pm$ col valore assoluto al denominatore:
\[\pm k\cdot\dfrac{e^x}{|x|}= k\cdot\dfrac{e^x}{x}\]

Non ti scandalizzare se vedi $k$ e non $c$: la costante d'integrazione la puoi anche chiamare Gianfranco :-D non cambia nulla..

robe921
esatto, una volta fatto tutto ciò puoi concludere che la funzione dipende dalla costante arbitraria $\alpha$, ovvero
$y=\alpha e^x/x$ che sarà

$y=e^x/x \quad if \quad \alpha>0$
$y=-e^x/x \quad if \quad \alpha<0$

lex1531
perfetto grazie ad entrambi! siete stati davvero chiarissimi

al prossimo esame chiamero la costante Gianfranco in vostro onore ahahahh

robe921
melius abundare quam deficere dicevano i nostri avi :-D

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