Eccoci ad un altro integrale
determinare l'integrale generale di $y'=(x-1)y/x$
allora è una funzione omogenea, quindi della forma $y'=a(x)y$ cioè $y'=((x-1)/x)y$
quindi trovo una primitiva di $(x-1)/x$
$int(x-1)/x=intx/x-1/x$ posso farlo?
$int1-int1/x=x-ln|x|$
secondo me già ci sono abbastanza errori quindi mi fermo
allora è una funzione omogenea, quindi della forma $y'=a(x)y$ cioè $y'=((x-1)/x)y$
quindi trovo una primitiva di $(x-1)/x$
$int(x-1)/x=intx/x-1/x$ posso farlo?
$int1-int1/x=x-ln|x|$
secondo me già ci sono abbastanza errori quindi mi fermo
Risposte
ti sei dimenticato $\int (y')/y dy=log|y|+c$ ma penso sia ovvio
A parte la mancanza di parentesi, dei differenziali e della costante arbitraria non ci sono altri errori 
Se hai un dubbio sul risultato del calcolo di un integrale indefinito puoi sempre provare a derivare la funzione che hai ottenuto: se ti risulta la funzione integranda allora hai integrato correttamente. Oppure hai sbagliato sia nell'integrare sia nel derivare
. Ciao
Se hai un dubbio sul risultato del calcolo di un integrale indefinito puoi sempre provare a derivare la funzione che hai ottenuto: se ti risulta la funzione integranda allora hai integrato correttamente. Oppure hai sbagliato sia nell'integrare sia nel derivare
. Ciao
quindi è giusta come soluzione: $x-ln|x|+c$ ??
Ciao innanzitutto, che io sappia, una funzione non può essere omogenea (nel senso che non ho mai sentito parlare di funzione omogenea); si parla invece, come in questo caso, di equazione omogenea; inoltre vedi subito che è un'equazione a variabili separabili. Procedi così:
\[y'=(x-1)\dfrac{y}{x}\implies \dfrac{y'}{y}=\dfrac{(x-1)}{x}\]
Ora prendi l'integrale indefinito di ambo i membri
\[\int \dfrac{y'}{y}\,dx=\int \dfrac{(x-1)}{x}\,dx\]
Nell'integrale a sinistra si utilizza il cambio di variabile (sempre, non solo in qst esercizio):
\[y=y(x)\qquad dy=y'(x)\,dx \]
Quindi riscriviamo il bordello precedente come
\[\int \dfrac{dy}{y}=\int \dfrac{(x-1)}{x}\,dx\]
e penso che tu sappia calcolare questi due integrali...
Dopodichè, ti ritroverai in una situazione del genere
\[F(y)=G(x)\]
Da qui devi cercare di "ricavare la $y$", che la (le) soluzione(i) della tua equazione differenziale.
Ricorda di scrivere una sola volta la costante di integrazione $C$, poichè quella che viene fuori dal primo integrale può essere "accorpata" a quella che vien fuori dal secondo.
Ciao
Giuseppe
innanzitutto, che io sappia, una funzione non può essere omogenea (nel senso che non ho mai sentito parlare di funzione omogenea); si parla invece, come in questo caso, di equazione omogenea; inoltre vedi subito che è un'equazione a variabili separabili. Procedi così:\[y'=(x-1)\dfrac{y}{x}\implies \dfrac{y'}{y}=\dfrac{(x-1)}{x}\]
Ora prendi l'integrale indefinito di ambo i membri
\[\int \dfrac{y'}{y}\,dx=\int \dfrac{(x-1)}{x}\,dx\]
Nell'integrale a sinistra si utilizza il cambio di variabile (sempre, non solo in qst esercizio):
\[y=y(x)\qquad dy=y'(x)\,dx \]
Quindi riscriviamo il bordello precedente come
\[\int \dfrac{dy}{y}=\int \dfrac{(x-1)}{x}\,dx\]
e penso che tu sappia calcolare questi due integrali...
Dopodichè, ti ritroverai in una situazione del genere
\[F(y)=G(x)\]
Da qui devi cercare di "ricavare la $y$", che la (le) soluzione(i) della tua equazione differenziale.
Ricorda di scrivere una sola volta la costante di integrazione $C$, poichè quella che viene fuori dal primo integrale può essere "accorpata" a quella che vien fuori dal secondo.
Ciao
Giuseppe
Si, mi trovo mettendo a primo membro l'integrale che ha calcolato robe92 e al secondo quello che hai calcolato tu ora devi ricavare la $y$: prova!
ora devi ricavare la $y$: prova!
quindi:
il primo integrale viene $ln|y|+c$
il secondo $x-ln|x|+c$
quindi ho: $ln|y|=x-ln|x|+c$
io farei(tralasciando il $+c$): $lnsqrty^2=x-lnsqrtx^2rarr1/2lny^2=x-1/2lnx^2rarrlny^2=2x-lnx^2$ mi sono complicato la vita e basta?
i logaritmi non mi sono molto simpatici!
il primo integrale viene $ln|y|+c$
il secondo $x-ln|x|+c$
quindi ho: $ln|y|=x-ln|x|+c$
io farei(tralasciando il $+c$): $lnsqrty^2=x-lnsqrtx^2rarr1/2lny^2=x-1/2lnx^2rarrlny^2=2x-lnx^2$ mi sono complicato la vita e basta?
i logaritmi non mi sono molto simpatici!
Ti avevo consigliato di scriverla solo a destra la costante d'integrazione. Questo perchè se hai
\[\ln|y|+c_1=x-\ln|x|+c_2\]
(le costanti sono diverse, se no s'annullano) portando a destra $c_1$ ottieni
\[\ln|y|=x-\ln|x|+c_2-c_1\]
Ora, questo $c_2-c_1$ è comunque una costante, un numero, per cui scriviamo sinteticamente
\[\ln|y|=x-\ln|x|+c\]
avendo posto
\[c:=c_2-c_1\]
Per trovare la $y$ invece, passa agli esponenziali...
\[\ln|y|+c_1=x-\ln|x|+c_2\]
(le costanti sono diverse, se no s'annullano) portando a destra $c_1$ ottieni
\[\ln|y|=x-\ln|x|+c_2-c_1\]
Ora, questo $c_2-c_1$ è comunque una costante, un numero, per cui scriviamo sinteticamente
\[\ln|y|=x-\ln|x|+c\]
avendo posto
\[c:=c_2-c_1\]
Per trovare la $y$ invece, passa agli esponenziali...
non credo di saper passare agli esponenziali o forse non ho capito bene cosa intendi
Aspe vado a comprare le sigarette (sperando che il tabaccaio sia aperto) e ne parliamo
"Plepp":
Aspe vado a comprare le sigarette (sperando che il tabaccaio sia aperto) e ne parliamo
che mito! sono con te!
$log|y|=x-log|x|+c\implies |y|=e^(x-log|x|+c)$
"robe92":
$log|y|=x-log|x|+c\implies |y|=e^(x-log|x|+c)$
ok robe fino a qui ci sono, mo il libro mi da come soluzione $(e^x)/x$ come ci si arriva?
"robe92":
$log|y|=x-log|x|+c\implies |y|=e^(x-log|x|+c)$
Ecco appunto; di solito quando ti trovi in una situazione tipo
\[|y|=f(x) \]
concludi che
\[y=\pm f(x)\]
In questo caso
\[y=\pm e^{x-\log|x|+c}\]
Inoltre se consideri che
\[e^{x-\log|x|+c}=e^{x-\log|x|}\cdot e^c\]
ponendo $k:=e^c$ (un numero) puoi riscrivere il tutto come
\[y=\pm ke^{x-\log|x|}\]
Ora possiamo toglierci anche quell'antipatico $\pm$ dalle scatole: considerando che $\pm k$ è pur sempre una costante, scriviamo (ponendo $\alpha=\pm k$)
\[y=\alpha e^{x-\log|x|}\]
Il "ruolo" di $\alpha$ è identico a quello di $c$.
N.B. Questo procedimento è facoltativo, nel senso che ti semplifica la vita...ma se tu porti all'esame la soluzione
\[y=\pm e^{x-\log|x|+c}\]
nessuno avrà il diritto di contraddirti
"lex153":
[quote="robe92"]$log|y|=x-log|x|+c\implies |y|=e^(x-log|x|+c)$
ok robe fino a qui ci sono, mo il libro mi da come soluzione $(e^x)/x$ come ci si arriva?[/quote]
se la soluzione è questa, allora stai risolvendo un problema di Cauchy, altrimenti ci sarebbe un $c$ in giro...
hai ragione robe è tutto moltiplicato per $c$
ok giuseppe tutto chiaro, quindi la soluzione del libro è solo un "aggiustare" questa soluzione che però è giusta?
prese le sigarette?
ok giuseppe tutto chiaro, quindi la soluzione del libro è solo un "aggiustare" questa soluzione che però è giusta?
prese le sigarette?
"lex153":
il libro mi da come soluzione $(e^x)/x$ come ci si arriva?
[tex]e^{x-\ln\left | x \right |}=e^{x}\cdot e^{-\ln\left | x \right |}=\frac{e^x}{e^{\ln\left | x \right |}}=\frac{e^x}{\left | x \right |}=\pm\frac{e^x}{x}[/tex],
dove si usa la definizione di logaritmo: [tex]e^{a}=b\Leftrightarrow a=\ln b[/tex] ed in ultima analisi il segno $\pm$ può essere "inglobato" nella costante arbitraria come ti ha già spiegato Plepp. Ciao
Si si 4 pacchi
Comunque il tuo libro ha fatto questo (partiamo da qui):
\[y=\pm k\cdot e^{x-\ln|x|}=\pm k\cdot\dfrac{e^x}{e^{\ln|x|}}=\pm k\cdot\dfrac{e^x}{|x|}\]
Poi ha "accorpato" il $\pm$ col valore assoluto al denominatore:
\[\pm k\cdot\dfrac{e^x}{|x|}= k\cdot\dfrac{e^x}{x}\]
Non ti scandalizzare se vedi $k$ e non $c$: la costante d'integrazione la puoi anche chiamare Gianfranco non cambia nulla..
Comunque il tuo libro ha fatto questo (partiamo da qui):
\[y=\pm k\cdot e^{x-\ln|x|}=\pm k\cdot\dfrac{e^x}{e^{\ln|x|}}=\pm k\cdot\dfrac{e^x}{|x|}\]
Poi ha "accorpato" il $\pm$ col valore assoluto al denominatore:
\[\pm k\cdot\dfrac{e^x}{|x|}= k\cdot\dfrac{e^x}{x}\]
Non ti scandalizzare se vedi $k$ e non $c$: la costante d'integrazione la puoi anche chiamare Gianfranco
non cambia nulla..
esatto, una volta fatto tutto ciò puoi concludere che la funzione dipende dalla costante arbitraria $\alpha$, ovvero
$y=\alpha e^x/x$ che sarà
$y=e^x/x \quad if \quad \alpha>0$
$y=-e^x/x \quad if \quad \alpha<0$
$y=\alpha e^x/x$ che sarà
$y=e^x/x \quad if \quad \alpha>0$
$y=-e^x/x \quad if \quad \alpha<0$
perfetto grazie ad entrambi! siete stati davvero chiarissimi
al prossimo esame chiamero la costante Gianfranco in vostro onore ahahahh
al prossimo esame chiamero la costante Gianfranco in vostro onore ahahahh
melius abundare quam deficere dicevano i nostri avi
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