Eccoci ad un altro integrale

[lex1531]

determinare l'integrale generale di $y'=(x-1)y/x$

allora è una funzione omogenea, quindi della forma $y'=a(x)y$ cioè $y'=((x-1)/x)y$

quindi trovo una primitiva di $(x-1)/x$
$int(x-1)/x=intx/x-1/x$ posso farlo?
$int1-int1/x=x-ln|x|$

secondo me già ci sono abbastanza errori quindi mi fermo

[Plepp]

"robe92":esatto, una volta fatto tutto ciò puoi concludere che la funzione dipende dalla costante arbitraria $\alpha$, ovvero
$y=\alpha e^x/x$ che sarà

$y=e^x/x \quad if \quad \alpha>0$
$y=-e^x/x \quad if \quad \alpha<0$

Nooo robe $\alpha$ e una costante qualsiasi, positiva, negativa o nulla (infatti anche la funzione $y=0$ è soluzione, sempre per $x\ne 0$)...non ce ne frega niente del suo segno. La soluzione più sintetica e pratica è questa
\[y=(\text{Gianfranco})\,\dfrac{e^x}{x}\]
Punto.