E.........ancora integrali..uff!!!
integrale di tangente alla quarta di x in dx
Risposte
Si fa per parti... Una cosa che non ho
capito: tu puoi leggere le formule
matematiche che io adesso scrivo? Speriamo
di sì, nei post precedenti mi sembrava
come se tu non le avessi lette...
$int e^x sin^2x dx = e^x sin^2x - int e^x * 2sinxcosx dx = e^x sin^2x - int e^x * sin(2x) dx$ (*)
Adesso, sempre per parti: $int e^x sin(2x) dx =
$=e^xsin(2x)-inte^x*2cos(2x) dx$ (1)
e ancora per parti: $int e^x *2cos(2x) dx = e^x * 2cos(2x) + int e^x * 4 sin(2x) dx$.
Quindi sostituendo in (1) si ha:
$int e^x sin(2x) dx = e^xsin(2x)-2e^xcos(2x)-4inte^xsin(2x)dx
adesso portiamo $-4inte^xsin(2x)dx$ al primo membro dell'equazione ed otteniamo:
$inte^xsin(2x)dx = 1/5(e^xsin(2x)-2e^xcos(2x))
allora risostituendo nella (*) abbiamo finalmente:
$int e^x sin^2x dx = e^x sin^2x - 1/5(e^xsin(2x)-2e^xcos(2x))
Salvo errori.
capito: tu puoi leggere le formule
matematiche che io adesso scrivo? Speriamo
di sì, nei post precedenti mi sembrava
come se tu non le avessi lette...
$int e^x sin^2x dx = e^x sin^2x - int e^x * 2sinxcosx dx = e^x sin^2x - int e^x * sin(2x) dx$ (*)
Adesso, sempre per parti: $int e^x sin(2x) dx =
$=e^xsin(2x)-inte^x*2cos(2x) dx$ (1)
e ancora per parti: $int e^x *2cos(2x) dx = e^x * 2cos(2x) + int e^x * 4 sin(2x) dx$.
Quindi sostituendo in (1) si ha:
$int e^x sin(2x) dx = e^xsin(2x)-2e^xcos(2x)-4inte^xsin(2x)dx
adesso portiamo $-4inte^xsin(2x)dx$ al primo membro dell'equazione ed otteniamo:
$inte^xsin(2x)dx = 1/5(e^xsin(2x)-2e^xcos(2x))
allora risostituendo nella (*) abbiamo finalmente:
$int e^x sin^2x dx = e^x sin^2x - 1/5(e^xsin(2x)-2e^xcos(2x))
Salvo errori.
"tony883":
integrale di tangente alla quarta di x in dx
Come, adesso hai cambiato testo?!?!
"fireball":
[quote="tony883"]integrale di tangente alla quarta di x in dx
Come, adesso hai cambiato testo?!?![/quote]
si avevo sbagliato testo scusa
Comunque poni $tanx=t$ e ti verrà
$int (t^4)/(1+t^2) dt
che si può calcolare facilmente
eseguendo la divisione del numeratore
per il denominatore, infatti si ha:
$(t^4)/(1+t^2) = t^2 - t^2/(1+t^2) = t^2 - (t^2+1-1)/(1+t^2) = t^2 - 1 + 1/(1+t^2)
$int (t^4)/(1+t^2) dt
che si può calcolare facilmente
eseguendo la divisione del numeratore
per il denominatore, infatti si ha:
$(t^4)/(1+t^2) = t^2 - t^2/(1+t^2) = t^2 - (t^2+1-1)/(1+t^2) = t^2 - 1 + 1/(1+t^2)
come fa a venire integrale di t alla quarta diviso 1+t al quadrato??
$tan(x)=t$ allora $x=arctg(t)$ e quindi $dx=dt/(1+t^2)$
arrivati a integrale di t al quadrato meno uno+ integrale di 1 su t al quadrato+1 ...come su va avanti
"tony883":
arrivati a integrale di t al quadrato meno uno+ integrale di 1 su t al quadrato+1 ...come su va avanti
E' un integrale banale ora
$int(t^2-1+1/(t^2+1))dt=t^3/3-t+arctg(t)+C=(tg^3(x))/3-tg(x)+x+C$ avendo posto $tgx=t$
scusate ...ma la derivata di (t al quadrato +1 )/2...è2tdt??
"tony883":
scusate ...ma la derivata di (t al quadrato +1 )/2...è2tdt??
da dove esce? riguarda l'integrale
Comunque $d/dt((t^2+1)/2)=t$
"nicasamarciano":
[quote="tony883"]scusate ...ma la derivata di (t al quadrato +1 )/2...è2tdt??
da dove esce? riguarda l'integrale
Comunque $d/dt((t^2+1)/2)=t$[/quote]
era una domanda............senta integrale di 3(t alla terza - uno)...quanto viene?
"tony883":
[quote="nicasamarciano"][quote="tony883"]scusate ...ma la derivata di (t al quadrato +1 )/2...è2tdt??
da dove esce? riguarda l'integrale
Comunque $d/dt((t^2+1)/2)=t$[/quote]
era una domanda............senta integrale di 3(t alla terza - uno)...quanto viene?[/quote]
Grazie del lei
$int3(t^3-1)dt=3/4*t^4-3t+C$
gli integrali non li mastico bene...per fortuna ho trovato lei......integrale di (x/radice terza di x -1)in dx
"tony883":
gli integrali non li mastico bene...per fortuna ho trovato lei......integrale di (x/radice terza di x -1)in dx
Per cortesia dammi del tu, non farmi sentire vecchio, anche se tra poco compio 25 anni
poi l'integrale è
$intx/(root(3)x-1)dx$?
ok ok...l'integrale di (x/(radice terza di x -1)))in dx
"tony883":
ok ok...l'integrale di (x/(radice terza di x -1)))in dx
$intx/(root(3)x-1)dx$
$t=root(3)x$ $->$ $x=t^3$ da cui $dx=3t^2dt$ per cui
$intx/(root(3)x-1)dx=int(3t^5/(t-1))dt=int(3t^4+3t^3+3t^2+3t+3+3/(t-1))dt=3/5*t^5+3/4*t^4+t^3+3/2*t^2+3t+3ln|t-1|+C$=
$3/5*x^(5/3)+3/4*x^(3/4)+x+3/2*x^(2/3)+3*x^(1/3)+3ln|x^(1/3)-1|+C$
"nicasamarciano":
[quote="tony883"]ok ok...l'integrale di (x/(radice terza di x -1)))in dx
$intx/(root(3)x-1)dx$
$t=root(3)x$ $->$ $x=t^3$ da cui $dx=3t^2dt$ per cui
$intx/(root(3)x-1)dx=int(3t^5/(t-1))dt=int(3t^4+3t^3+3t^2+3t+3+3/(t-1))dt=3/5*t^5+3/4*t^4+t^3+3/2*t^2+3t+3ln|t-1|+C$=
$3/5*x^(5/3)+3/4*x^(3/4)+x+3/2*x^(2/3)+3*x^(1/3)+3ln|x^(1/3)-1|+C$[/quote]
comunque x-1 tutto sotto la radice terza
raga se qualcuno mi puo aiutare devo studiare questi esercizi entro il pomeriggio di domani
1)integrale di (x/radice terza di(x-1)in dx
2)integrale di cotg alla terza di x in dx
3)integrale di (x al quadrato/radice terza di (2x+1))in dx
4)integrale di dx/(x-radice quadrata di(x+2))
5)integrale di (x al quadrato/radice quarta di (x+1))in dx
6)integrale di dx/(x-3)*radice quadrata di (x+1)
7)integrale di x al quadrato/(radice quadrata(1-x al quadrato))in dx
vi ringrazio in anticipo a tutti quelli che mi aiuteranno...e che mi riusciranno a farmi caire questi ...integrali
1)integrale di (x/radice terza di(x-1)in dx
2)integrale di cotg alla terza di x in dx
3)integrale di (x al quadrato/radice terza di (2x+1))in dx
4)integrale di dx/(x-radice quadrata di(x+2))
5)integrale di (x al quadrato/radice quarta di (x+1))in dx
6)integrale di dx/(x-3)*radice quadrata di (x+1)
7)integrale di x al quadrato/(radice quadrata(1-x al quadrato))in dx
vi ringrazio in anticipo a tutti quelli che mi aiuteranno...e che mi riusciranno a farmi caire questi ...integrali
"tony883":
[quote="nicasamarciano"][quote="tony883"]ok ok...l'integrale di (x/(radice terza di x -1)))in dx
$intx/(root(3)x-1)dx$
$t=root(3)x$ $->$ $x=t^3$ da cui $dx=3t^2dt$ per cui
$intx/(root(3)x-1)dx=int(3t^5/(t-1))dt=int(3t^4+3t^3+3t^2+3t+3+3/(t-1))dt=3/5*t^5+3/4*t^4+t^3+3/2*t^2+3t+3ln|t-1|+C$=
$3/5*x^(5/3)+3/4*x^(3/4)+x+3/2*x^(2/3)+3*x^(1/3)+3ln|x^(1/3)-1|+C$[/quote]
comunque x-1 tutto sotto la radice terza[/quote]
vedi post sotto
1)
$intx/(root(3)(x-1))dx$
$t=root(3)(x-1)$ $->$ $x=1+t^3$ da cui $dx=3t^2dt$ per cui
$intx/(root(3)(x-1))dx=int(3t^2(1+t^3))/tdt=int(3t+3t^4)dt=3/2*t^2+3/5*t^5+C=3/2*(x-1)^(2/3)+3/5*(x-1)^(5/3)+C=3/10*(x-1)^(2/3)*(2x+3)+C$
2)$intcotg^3xdx=int1/(tg^3x)dx$
Ora $tgx=t$ $->$ $x=arctgt$ $->$ $dx=1/(1+t^2)dt$ da cui
$intcotg^3xdx=int1/(t^3*(1+t^2))dt$
Ora $1/(t^3*(1+t^2))=A/t+B/t^2+C/t^3+(Dt+E)/(t^2+1)$ e per l'identità dei polinomi troverai
${(A=-1),(B=0),(C=1),(D=1),(E=0):}$ per cui
$int1/(t^3*(1+t^2))dt=int(-1/t+1/t^3+t/(t^2+1))dt=-ln|t|-1/(2t^2)+1/2ln(t^2+1)+C=-1/2ln(t^2/(t^2+1))-1/(2t^2)+C$=
$-ln|sinx|-1/(2tg^2x)+C$
3)$intx^2/(root(3)(2x+1))dx$
Solito ragionamento $root(3)(2x+1)=t$ $->$ $x=(t^3-1)/2$ $->$ $dx=3/2*t^2dt$ per cui
$intx^2/(root(3)(2x+1))dx=int(t^3-1)^2/(4*t)*3/2*t^2dt=int(3/8*t^7-3/4*t^4+3/8*t)dt=3/64*t^8-3/20*t^5+3/16*t^2+C$=
$3/64*(2x+1)^(8/3)-3/20*(2x+1)^(5/3)+3/16*(2x+1)^(2/3)+C=3/320*(2x+1)^(2/3)*(20x^2-12x+9)+C$
4)$int1/(x-sqrt(x+2))dx$
$sqrt(x+2)=t$ $->$ $x=t^2-2$ $->$ $dx=2tdt$ da cui
$int1/(x-sqrt(x+2))dx=int(2t)/(t^2-t-2)dt=int(4/3*1/(t-2)+2/3*1/(t+1))dt=4/3*ln|t-2|+2/3*ln|t+1|+C=4/3*ln|sqrt(x+2)-2|+2/3*ln|sqrt(x+2)+1|+C$
5)$intx^2/(root(4)(x+1))dx$
Sono ripetitivo: $root(4)(x+1)=t$ $->$ $x=t^4-1$ $->$ $dx=4t^3dt$ per cui
$intx^2/(root(4)(x+1))dx=int(t^4-1)^2/t*4t^3dt=int4t^2(t^4-1)^2dt=int(4t^10-8t^6+4t^2)dt=4/11*t^11-8/7*t^7+4/3*t^3+C$=
$4/11*(x+1)^(11/4)-8/7*(x+1)^(7/4)+4/3*(x+1)^(3/4)+C$=$4/231(1 + x)^(3/4)(32 - 24x + 21x^2)+C$
6) $int1/((x-3)sqrt(x+1))dx$
$sqrt(x+1)=t$ $->$ $x=t^2-1$ $->$ $dx=2tdt$ da cui
$int1/((x-3)sqrt(x+1))dx=int1/((t^2-4)*t)*2tdt=int2/(t^2-4)dt=int(1/2*1/(t-2)-1/2*1/(t+2))dt=1/2ln|(t-2)/(t+2)|+C=1/2*ln|(sqrt(x+1)-2)/(sqrt(x+1)+2)|+C$
7) $intx^2/(sqrt(1-x^2))dx=int (-x)*(-x)/(sqrt (1-x^2)) dx$ per parti dà
$intx^2/(sqrt(1-x^2))dx=-x*sqrt(1-x^2)+int sqrt (1-x^2) dx$
Ora
$int sqrt (1-x^2) dx=int(1-x^2)/(sqrt(1-x^2))dx=int1/sqrt(1-x^2)dx-intx^2/(sqrt(1-x^2))dx$ per cui
$intx^2/(sqrt(1-x^2))dx=-x*sqrt(1-x^2)+int1/sqrt(1-x^2)dx-intx^2/(sqrt(1-x^2))dx$ e
portando al primo membro l'ultimo pezzo:
$2intx^2/(sqrt(1-x^2))dx=-x*sqrt(1-x^2)+int1/sqrt(1-x^2)dx$ e quindi
$intx^2/(sqrt(1-x^2))dx=-1/2*x*sqrt(1-x^2)+1/2*int1/sqrt(1-x^2)dx=-1/2*x*sqrt(1-x^2)+1/2*arcsinx+C$
$intx/(root(3)(x-1))dx$
$t=root(3)(x-1)$ $->$ $x=1+t^3$ da cui $dx=3t^2dt$ per cui
$intx/(root(3)(x-1))dx=int(3t^2(1+t^3))/tdt=int(3t+3t^4)dt=3/2*t^2+3/5*t^5+C=3/2*(x-1)^(2/3)+3/5*(x-1)^(5/3)+C=3/10*(x-1)^(2/3)*(2x+3)+C$
2)$intcotg^3xdx=int1/(tg^3x)dx$
Ora $tgx=t$ $->$ $x=arctgt$ $->$ $dx=1/(1+t^2)dt$ da cui
$intcotg^3xdx=int1/(t^3*(1+t^2))dt$
Ora $1/(t^3*(1+t^2))=A/t+B/t^2+C/t^3+(Dt+E)/(t^2+1)$ e per l'identità dei polinomi troverai
${(A=-1),(B=0),(C=1),(D=1),(E=0):}$ per cui
$int1/(t^3*(1+t^2))dt=int(-1/t+1/t^3+t/(t^2+1))dt=-ln|t|-1/(2t^2)+1/2ln(t^2+1)+C=-1/2ln(t^2/(t^2+1))-1/(2t^2)+C$=
$-ln|sinx|-1/(2tg^2x)+C$
3)$intx^2/(root(3)(2x+1))dx$
Solito ragionamento $root(3)(2x+1)=t$ $->$ $x=(t^3-1)/2$ $->$ $dx=3/2*t^2dt$ per cui
$intx^2/(root(3)(2x+1))dx=int(t^3-1)^2/(4*t)*3/2*t^2dt=int(3/8*t^7-3/4*t^4+3/8*t)dt=3/64*t^8-3/20*t^5+3/16*t^2+C$=
$3/64*(2x+1)^(8/3)-3/20*(2x+1)^(5/3)+3/16*(2x+1)^(2/3)+C=3/320*(2x+1)^(2/3)*(20x^2-12x+9)+C$
4)$int1/(x-sqrt(x+2))dx$
$sqrt(x+2)=t$ $->$ $x=t^2-2$ $->$ $dx=2tdt$ da cui
$int1/(x-sqrt(x+2))dx=int(2t)/(t^2-t-2)dt=int(4/3*1/(t-2)+2/3*1/(t+1))dt=4/3*ln|t-2|+2/3*ln|t+1|+C=4/3*ln|sqrt(x+2)-2|+2/3*ln|sqrt(x+2)+1|+C$
5)$intx^2/(root(4)(x+1))dx$
Sono ripetitivo: $root(4)(x+1)=t$ $->$ $x=t^4-1$ $->$ $dx=4t^3dt$ per cui
$intx^2/(root(4)(x+1))dx=int(t^4-1)^2/t*4t^3dt=int4t^2(t^4-1)^2dt=int(4t^10-8t^6+4t^2)dt=4/11*t^11-8/7*t^7+4/3*t^3+C$=
$4/11*(x+1)^(11/4)-8/7*(x+1)^(7/4)+4/3*(x+1)^(3/4)+C$=$4/231(1 + x)^(3/4)(32 - 24x + 21x^2)+C$
6) $int1/((x-3)sqrt(x+1))dx$
$sqrt(x+1)=t$ $->$ $x=t^2-1$ $->$ $dx=2tdt$ da cui
$int1/((x-3)sqrt(x+1))dx=int1/((t^2-4)*t)*2tdt=int2/(t^2-4)dt=int(1/2*1/(t-2)-1/2*1/(t+2))dt=1/2ln|(t-2)/(t+2)|+C=1/2*ln|(sqrt(x+1)-2)/(sqrt(x+1)+2)|+C$
7) $intx^2/(sqrt(1-x^2))dx=int (-x)*(-x)/(sqrt (1-x^2)) dx$ per parti dà
$intx^2/(sqrt(1-x^2))dx=-x*sqrt(1-x^2)+int sqrt (1-x^2) dx$
Ora
$int sqrt (1-x^2) dx=int(1-x^2)/(sqrt(1-x^2))dx=int1/sqrt(1-x^2)dx-intx^2/(sqrt(1-x^2))dx$ per cui
$intx^2/(sqrt(1-x^2))dx=-x*sqrt(1-x^2)+int1/sqrt(1-x^2)dx-intx^2/(sqrt(1-x^2))dx$ e
portando al primo membro l'ultimo pezzo:
$2intx^2/(sqrt(1-x^2))dx=-x*sqrt(1-x^2)+int1/sqrt(1-x^2)dx$ e quindi
$intx^2/(sqrt(1-x^2))dx=-1/2*x*sqrt(1-x^2)+1/2*int1/sqrt(1-x^2)dx=-1/2*x*sqrt(1-x^2)+1/2*arcsinx+C$
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