E' una serie a segni alterni?
Ragazzi, mi è sorto un dubbio riguardo questa serie ( e la domanda si espande su tutte le serie che sono simili ):
$sum_{n=1}^+oo (-1)^n *((n+(-1)^n)/logn)$
C'è il doppio $(-1)^n$ che mi confonde! E' a segni alterni? Se la serie non avesse avuto il primo $(-1)^n$ sarebbe stata a segni alterni?
$sum_{n=1}^+oo (-1)^n *((n+(-1)^n)/logn)$
C'è il doppio $(-1)^n$ che mi confonde! E' a segni alterni? Se la serie non avesse avuto il primo $(-1)^n$ sarebbe stata a segni alterni?
Risposte
se hai dubbi in questi casi prova ad esplicitare alcuni termini:
\begin{align}
\sum_{n=2}^{+\infty}(-1)^n\cdot\frac{n+(-1)^n}{\ln n}=\left(\frac{3}{\ln 2}\right)-\left(\frac{2}{\ln3}\right)+\left(\frac{5}{\ln4}\right)- \left(\frac{4}{\ln5}\right)+....
\end{align}
quindi si tratta di una serie a segni alterni!
\begin{align}
\sum_{n=2}^{+\infty}(-1)^n\cdot\frac{n+(-1)^n}{\ln n}=\left(\frac{3}{\ln 2}\right)-\left(\frac{2}{\ln3}\right)+\left(\frac{5}{\ln4}\right)- \left(\frac{4}{\ln5}\right)+....
\end{align}
quindi si tratta di una serie a segni alterni!
Ottimo rimedio!
Una domanda, sempre riguardante le serie: quando devo studiarne l'assoluta convergenza, ovviamente lavoro con il valore assoluto della serie in questione. Ecco, come posso capire qual è il passaggio da valore assoluto a non valore assoluto?
Mi spiego, ci sono alcune funzioni come $n^2$ che sono sempre positive, quindi in valore assoluto hanno sempre lo stesso valore e quando ne studio l'assoluta convergenza, studio $n^2$ e non $|n^2|$. Come posso amplificare il concetto a tutte le altre funzioni? Come posso capire quando il valore assoluto '' modifica '' concretamente un segno o il valore della funzione?
Spero di essermi spiegato
Una domanda, sempre riguardante le serie: quando devo studiarne l'assoluta convergenza, ovviamente lavoro con il valore assoluto della serie in questione. Ecco, come posso capire qual è il passaggio da valore assoluto a non valore assoluto?
Mi spiego, ci sono alcune funzioni come $n^2$ che sono sempre positive, quindi in valore assoluto hanno sempre lo stesso valore e quando ne studio l'assoluta convergenza, studio $n^2$ e non $|n^2|$. Come posso amplificare il concetto a tutte le altre funzioni? Come posso capire quando il valore assoluto '' modifica '' concretamente un segno o il valore della funzione?
Spero di essermi spiegato
quando facendo tendere $n\to+\infty$ la successione cambia segno, come ad esempio $\sin n$ sai che continua ad oscillare tra uno e meno uno, dunque sai che non mantiene segno costante andandosene a $+\infty$ quindi in quel caso il valore assoluto infulisce; se ad esempio hai:
\[\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{ \sin n }{n^2 }\cdot x^n\]
hai che il numeratore cambia continuamente segno in più hai anche un $x^n$ che a seconda che $n$ sia pari o dispari cambia segno quindi
\[\left|\frac{ \sin n }{ n^2}\cdot x^n\right|=\frac{ \left|\sin n \right|}{\left| n^2 \right|}\cdot\left| x^n\right|=\frac{ \left|\sin n \right|}{ n^2 }\cdot\left| x\right|^n\]
\[\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{ \sin n }{n^2 }\cdot x^n\]
hai che il numeratore cambia continuamente segno in più hai anche un $x^n$ che a seconda che $n$ sia pari o dispari cambia segno quindi
\[\left|\frac{ \sin n }{ n^2}\cdot x^n\right|=\frac{ \left|\sin n \right|}{\left| n^2 \right|}\cdot\left| x^n\right|=\frac{ \left|\sin n \right|}{ n^2 }\cdot\left| x\right|^n\]
Quindi un buon metodo per capire se il valore assoluto influisce, è vedere il comportamento della suddetta funzione al tendere di $n->+oo$ ?
e si
Ed il valore assoluto influisce se, con $n->+oo$, la successione cambia di segno.
Ma se ho una serie il cui valore assoluto influisce, come mi comporto? Come calcolo il carattere se ho un elemento in valore assoluto per mezzo?
Ma se ho una serie il cui valore assoluto influisce, come mi comporto? Come calcolo il carattere se ho un elemento in valore assoluto per mezzo?
be se hai $\sum |a_n|$ hai certamente una serie a termini positivi
Quindi?
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