E' giusto ragionare così?
Oggi sono molto fecondo di integrali... 
Ne ho appena risolto uno il cui testo era:
$\int_{0}^{pi/2} ((sen\theta)^2)*((cos\theta)^4) dx$
Io l'ho riscritto come
$\int_{0}^{pi/2} ((sen\theta)^2)*(1-(cos2\theta)^2)/2 dx$
Da cui, essendo la prima parte un integrale noto $\(int_{0}^{pi/2} ((sen\theta)^2))=pi/4$
Così mi sono concentrato solo sulla seconda parte sviluppandolo con le formule di Eulero
$\int_{0}^{pi/2} (sen\theta)^2*(cos2\theta)^2=int_{0}^{pi/2} ((e^(i\theta)-e^(-i\theta))/(2i))^2*((e^(2i\theta)+e^(-2i\theta))/2)^2$
Da cui svolgendo i quadrati ed i prodotti ho ottenuto:
$\e^(6i\theta)+e^(-2i\theta)+2e^(2i\theta)+e^(2i\theta)+e^(-6i\theta)+2e^(-2i\theta)-2e^(-4i\theta)-2e^(4i\theta)-4$
da cui, a meno di errori di calcolo ho ottenuto, tornando a seni e coseni
$\(cos(6\theta)/2)+(cos(2\theta)/2)+cos(2\theta)-cos(4\theta)-4$ il tutto diviso -8
Da cui, passando all'integrale tra 0 e pi greco mezzi
ho ottenuto il valore di $\4pi/16$
Ottenendo il risultato finale di $\pi/8+4pi/16$
Se qualcno di voi ha pazienza di leggere tutto...mi saprebbe dire se ho fatto qualche errore???GRAZIE!!!!
Ne ho appena risolto uno il cui testo era:
$\int_{0}^{pi/2} ((sen\theta)^2)*((cos\theta)^4) dx$
Io l'ho riscritto come
$\int_{0}^{pi/2} ((sen\theta)^2)*(1-(cos2\theta)^2)/2 dx$
Da cui, essendo la prima parte un integrale noto $\(int_{0}^{pi/2} ((sen\theta)^2))=pi/4$
Così mi sono concentrato solo sulla seconda parte sviluppandolo con le formule di Eulero
$\int_{0}^{pi/2} (sen\theta)^2*(cos2\theta)^2=int_{0}^{pi/2} ((e^(i\theta)-e^(-i\theta))/(2i))^2*((e^(2i\theta)+e^(-2i\theta))/2)^2$
Da cui svolgendo i quadrati ed i prodotti ho ottenuto:
$\e^(6i\theta)+e^(-2i\theta)+2e^(2i\theta)+e^(2i\theta)+e^(-6i\theta)+2e^(-2i\theta)-2e^(-4i\theta)-2e^(4i\theta)-4$
da cui, a meno di errori di calcolo ho ottenuto, tornando a seni e coseni
$\(cos(6\theta)/2)+(cos(2\theta)/2)+cos(2\theta)-cos(4\theta)-4$ il tutto diviso -8
Da cui, passando all'integrale tra 0 e pi greco mezzi
ho ottenuto il valore di $\4pi/16$
Ottenendo il risultato finale di $\pi/8+4pi/16$
Se qualcno di voi ha pazienza di leggere tutto...mi saprebbe dire se ho fatto qualche errore???GRAZIE!!!!
Risposte
"Dubbioso":
Ottenendo il risultato finale di $\pi/8+4pi/16$
il risultato finale è $pi/32$
inoltre il primo passaggio non mi convince proprio, che formula hai applicato?
....Pardon..ho sbagliato a scrivere la prima formula...
il resto è corretto, ma all'inizio per passare da $\(cos\theta)^4$ alla formula al quadrato dovevo scriverlo uguale a $\(1+(cos(2\theta))^2)/2$
Perciò credo ci sia da correggere qualche segno...ma il resto a tuo parere è ok???
il resto è corretto, ma all'inizio per passare da $\(cos\theta)^4$ alla formula al quadrato dovevo scriverlo uguale a $\(1+(cos(2\theta))^2)/2$
Perciò credo ci sia da correggere qualche segno...ma il resto a tuo parere è ok???
"Dubbioso":
....Pardon..ho sbagliato a scrivere la prima formula...
il resto è corretto, ma all'inizio per passare da $\(cos\theta)^4$ alla formula al quadrato dovevo scriverlo uguale a $\(1+(cos(2\theta))^2)/2$
Perciò credo ci sia da correggere qualche segno...ma il resto a tuo parere è ok???
no, devi correggere anche alcuni i $theta$ che diventano $2*theta$.
Come procedimento ora vedo un pò...
"raff5184":
[quote="Dubbioso"]....Pardon..ho sbagliato a scrivere la prima formula...
il resto è corretto, ma all'inizio per passare da $\(cos\theta)^4$ alla formula al quadrato dovevo scriverlo uguale a $\(1+(cos(2\theta))^2)/2$
Perciò credo ci sia da correggere qualche segno...ma il resto a tuo parere è ok???
no, devi correggere anche alcuni i $theta$ che diventano $2*theta$.
Come procedimento ora vedo un pò...[/quote]
quelli dovrebbero essere giusti...ho sbagliato a trascriverla dal foglio...
Sarò sincero: non ho controllato i calcoli della seconda parte del tuo integrale perché sono decisamente eccessivi per un integrale del genere...
Ti propongo una via alternativa:
$\int_0^(pi/2) (sen theta)^2 (costheta)^2 d theta = \int_0^(pi/2) (sen theta costheta)^2 d theta = \int_0^(pi/2) ((sen (2 theta)) / 2)^2 d theta = 1/4\int_0^(pi/2) (sen(2 theta))^2 d theta = 1/4\int_0^(pi/2) (1 - cos(4theta))/2 d theta = 1/4 [1/2 theta - 1/8sen(4theta)]_0^(pi/2) = 1/4(pi/4-0) = pi/16$
quindi il tuo calcolo, benché corretto in linea di principio, contiene qualche errore.
Ti propongo una via alternativa:
$\int_0^(pi/2) (sen theta)^2 (costheta)^2 d theta = \int_0^(pi/2) (sen theta costheta)^2 d theta = \int_0^(pi/2) ((sen (2 theta)) / 2)^2 d theta = 1/4\int_0^(pi/2) (sen(2 theta))^2 d theta = 1/4\int_0^(pi/2) (1 - cos(4theta))/2 d theta = 1/4 [1/2 theta - 1/8sen(4theta)]_0^(pi/2) = 1/4(pi/4-0) = pi/16$
quindi il tuo calcolo, benché corretto in linea di principio, contiene qualche errore.
"Dubbioso":
Da cui, essendo la prima parte un integrale noto $\(int_{0}^{pi/2} ((sen\theta)^2))=pi/4$
manca $1/2$ davanti.. anche nell'altra metà dell'integrale ricordantene, a meno che non lo hai aggiunto alla fine.
Il procedimento può andare, a meno di errori. Correggi in base a quello che ti ho detto e vedi quanto ti esce. Poi hai anche la soluzione più breve di cozza.taddeo
grazie mille...rileggendo anche io ho notato di aver fatto millemila errori di distrazione...ma ho una sinusite feroce con mal di testa connesso...troppo ho fatto:D:D:D:D
"Cozza Taddeo":
Sarò sincero: non ho controllato i calcoli della seconda parte del tuo integrale perché sono decisamente eccessivi per un integrale del genere...
Ti propongo una via alternativa:
$\int_0^(pi/2) (sen theta)^2 (costheta)^2 d theta = \int_0^(pi/2) (sen theta costheta)^2 d theta = \int_0^(pi/2) ((sen (2 theta)) / 2)^2 d theta = 1/4\int_0^(pi/2) (sen(2 theta))^2 d theta = 1/4\int_0^(pi/2) (1 - cos(4theta))/2 d theta = 1/4 [1/2 theta - 1/8sen(4theta)]_0^(pi/2) = 1/4(pi/4-0) = pi/16$
quindi il tuo calcolo, benché corretto in linea di principio, contiene qualche errore.
Ma il tuo ragionamento da dove parte??Perchè il coseno è elevato alla 4a in partenza...mancherebbe a moltiplicazione per cos^2 di theta...
"Cozza Taddeo":
Sarò sincero: non ho controllato i calcoli della seconda parte del tuo integrale perché sono decisamente eccessivi per un integrale del genere...
Ti propongo una via alternativa:
$\int_0^(pi/2) (sen theta)^2 (costheta)^2 d theta = \int_0^(pi/2) (sen theta costheta)^2 d theta = \int_0^(pi/2) ((sen (2 theta)) / 2)^2 d theta = 1/4\int_0^(pi/2) (sen(2 theta))^2 d theta = 1/4\int_0^(pi/2) (1 - cos(4theta))/2 d theta = 1/4 [1/2 theta - 1/8sen(4theta)]_0^(pi/2) = 1/4(pi/4-0) = pi/16$
quindi il tuo calcolo, benché corretto in linea di principio, contiene qualche errore.
Ma il tuo ragionamento da dove parte??Perchè all'inizio il coseno di theta è elevato alla 4a...quindi mancherebbe il prodotto per un coseno al quadrato...oppure hai scordato un $\2\theta$
Il mio ragionamento parte dal secondo integrale in cui hai spezzato il tuo integrale complessivo. Il mio suggerimento riguarda solo una parte dell'integrale da eseguire, quello che tu hai svolto con le formule di Eulero.
"Cozza Taddeo":
Il mio ragionamento parte dal secondo integrale in cui hai spezzato il tuo integrale complessivo. Il mio suggerimento riguarda solo una parte dell'integrale da eseguire, quello che tu hai svolto con le formule di Eulero.
Ah.....ooops...c'è un errore in quella forma...adesso la edito...
:D:D:D
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