è giusto il mio ragionamento ? (e lo svolgimento ? )

[em[A]110]

bene .... mi trovo di fronte a questo esercizietto ...

ALLORA per prima cosa mi era stato detto che dovendo dimostrare in generale che $f(x)=c$ (c = costante), dovevo dimostrare che $f'(x)=0 $ identicamente e calcolarla su un valore facile (suppongo in questo caso compreso nell'intervallo $[1;2]$ dimostrando che si ottiene c ...bene...

dimostro prima che $f'(x)=0$ essendo $f(x)=arcsin(sqrt(x-1))-1/2arcsin(2x-3) - pi/4 = 0$

$f'(x)=1/sqrt(1-x+1)*1/(2sqrt(x-1))=2/(2sqrt(1-(4x^2-12x+9))$ quindi ottengo (saltando un passaggio) $1/(2sqrt((2-x)(x-1)))=1/sqrt(12x-4x^2-8)$ che diventa $1/(sqrt(4(3x-x^2-2)))-1/sqrt(12x-4x^2-8)=0$

quindi essendo $f'(x)$ = $1/(sqrt(12x-4x^2-8))-1/sqrt(12x-4x^2-8)=0$ ed essendo $12x-4x^2-8>0$per ogni $(x)in[1;2]$ ho dimostrato quello che volevo dimostrare ? è giusto in questo modo ?

[Studente Anonimo]

"Tipper":[quote="Martino"]Wizard: per esempio la funzione $RR-\{0\} \to RR$, $x \mapsto \arctan x+\arctan(1/x)$ ha derivata ovunque nulla ma non è costante.

Più che non essere costante, è costante negli intervalli in cui è definita.[/quote]



Una funzione $f:A \to B$ chiamasi costante se esiste $b \in B$ tale che $f(a)=b$ per ogni $a \in A$. Concordi?

Se sì, la funzione $RR-\{0\} \to RR$, $x \mapsto \arctan x+\arctan(1/x)$ non è costante: in 1 vale $\pi/2$, in -1 vale $-\pi/2$.

[_Tipper]

Lo so Martino (e infatti mica ho detto che tale funzione fosse costante...): la mia non era una correzione nei tuoi confronti, volevo solo che WiZaRd (che aveva sollevato la domanda) non fraintendesse.

[Studente Anonimo]

"Tipper":Lo so Martino (e infatti mica ho detto che tale funzione fosse costante...): la mia non era una correzione nei tuoi confronti, volevo solo che WiZaRd (che aveva sollevato la domanda) non fraintendesse.

Ho scritto così perché volevo che pensasse al motivo per cui non era costante.
Comunque ho capito, scusa per l'equivoco

[_Tipper]

No prob.

[G.D.5]

"Martino":
@em[A]: quando sarai a fare il compito e dovrai dimostrare che una certa funzione F è identicamente nulla, non basterà dimostrare che la F' è identicamente nulla, dovrai esplicitare il fatto che la valutazione in un punto per ogni componente connessa del dominio dà lo stesso risultato, e che tale risultato è 0.

A volte le cose non sono così semplici...

ma è per mezzo di qusto simpaticissimo fatto che una funzione può avere derivata prima identicamente nulla pur non essendo costante che bisogna fare la bella cosa (della quale ignoro totalmente il significato ) che ha detto Martino nel post che sopra ho riportato?

EDIT: se si, sta cosa non si dovrebbe fare anche nell'esercizio proposto in questo topic?

P.S. perdonatemi se faccio domande che non mi comptetono ma sono curioso

[Studente Anonimo]

"WiZaRd":sta cosa non si dovrebbe fare anche nell'esercizio proposto in questo topic?

è quello che stavo cercando di dire

Bisogna andare a calcolarsi per esempio f(3/2) e vedere che fa 0. Questo basta perché [1,2] è connesso.

[Gaal Dornick]

il teorema (o l'enunciato? o la proposizione? )
dice che:

data $f:I->RR$ dove $I$ è un intervallo
$f$ derivabile in I e ovunque la derivata nulla

allora la funzione è costante (se vuoi lo dimostri, non è difficile, devi sfruttare Lagrange)

Se ad esempio prendi la funzione definita sopra, consideri la sua ristretta ai reali strettamente negativi
$(-oo,0)$ è un intervallo, quindi la funzione ha costante valore (mettiamo $k_1$)
consideri la ristretta ai reali strettamente positivi
$(0,+oo)$ è un intervallo, quindi la funzione ha costante valore (mettiamo $k_2$)

niente ci assicura che $k_1=k_2$!!

[Gaal Dornick]

(un intervallo è connesso.. e mi appello a quanto detto da Martino; infatti sto teorema si generalizza ai connessi)

DOMANDA: io l'ho studiato sui connessi per archi.. si generalizza ai connessi? non so perchè non ho ancora studiato topologia..

[G.D.5]

ok...grazie per i chirimenti

[Studente Anonimo]

"Gaal Dornick":DOMANDA: io l'ho studiato sui connessi per archi.. si generalizza ai connessi? non so perchè non ho ancora studiato topologia..

Ah ora che mi ci fai pensare... non lo so. Probabilmente non si generalizza ai connessi.
Per scusarmi mi appello al fatto che in $RR$ è la stessa cosa

Edito: ora che ci penso... non è che vale per i semplicemente connessi? Non conosco molto le relazioni tra questi tre tipi di connessione.

Ciao