E' fatto bene questo limite?

[steppox]

Salve raga!!! Bando alle ciancie e passiamo al dunque Ho il limite:

\(\lim_{x \to -2}{\frac{log(x+2)+3x}{sen(x+2)}}\)

Per iniziare poniamo:

\(x+2=y\) e \(x=y-2\) e il limite diventa:

\(\lim_{y \to 0}{\frac{logy+3y-6}{seny}}\)

ora mi calcolo le derivate e mi viene:

\(\lim_{y \to 0}{\frac{\frac{1}{y}+3}{cosy}}\)

che diventa:

\(\frac{\infty +3}{1}\) e cioè \({\infty}\)

E' fattibile in questo modo? E poi un'altra cosa (ammesso che vada bene) come faccio per il segno dell'infinito?

NOTA PER gugo82 Nel caso (più che plausibile) il mio procedimento fosse errato, oltre a dirmi solo che ho sbagliato (come al solito) magari indirizzami anche sulla retta via!!! Grazie comunque scherzo!!!

[Clorinda1]

"steppox":

\(\frac{\infty +3}{1}\)

Temo che questa notazione sia assolutamente vietata!
Tuttavia il risultato mi sembra giusto, a parte il fatto che bisogna studiare separatamente il limite destro e sinistro.
Infatti:

\(\displaystyle \lim_{y \to 0^{+}}{\frac{\frac{1}{y}}{cosy}}=\infty \) e
\(\displaystyle \lim_{y \to 0^{-}}{\frac{\frac{1}{y}}{cosy}}=- \infty \)

[steppox]

"Clorinda":[quote="steppox"]

\(\frac{\infty +3}{1}\)

Temo che questa notazione sia assolutamente vietata!
Tuttavia il risultato mi sembra giusto, a parte il fatto che bisogna studiare separatamente il limite destro e sinistro.
Infatti:

\(\displaystyle \lim_{y \to 0^{+}}{\frac{\frac{1}{y}}{cosy}}=\infty \) e
\(\displaystyle \lim_{y \to 0^{-}}{\frac{\frac{1}{y}}{cosy}}=- \infty \)[/quote]

Grazie mille per la risposta... Dunque una volta giunto a \(\lim_{y \to 0}{\frac{\frac{1}{y}}{cosy}}\) scrivo il limite destro e sinistro come hai scritto tu e l'esercizio è finto?

Un'altra domanda che non c'entra con questo esercizio
Se mi trovo un limite:

\(\lim_{x \to -2}{\frac{x-3}{x^2+3x+2}}\) (sono arrivato a questo dopo alcuni passaggi)

Viene \(\frac{-5}{0}\)

Anche in questo caso va fatto limite destro e sinistro?

\(\lim_{x \to -2^+}{\frac{x-3}{x^2+3x+2}}=\frac{-5}{0^+}==-\infty\)

\(\lim_{x \to -2^-}{\frac{x-3}{x^2+3x+2}}=\frac{-5}{0^-}=+\infty\)

[Zero87]

"steppox":Anche in questo caso va fatto limite destro e sinistro?

\(\lim_{x \to -2^+}{\frac{x-3}{x^2+3x+2}}=\frac{-5}{0^+}==-\infty\)

\(\lim_{x \to -2^-}{\frac{x-3}{x^2+3x+2}}=\frac{-5}{0^-}=+\infty\)

Direi proprio di sì: giustificazione data dal fatto che oltretutto ottieni due limiti differenti.

[steppox]

"Zero87":[quote="steppox"]Anche in questo caso va fatto limite destro e sinistro?

\(\lim_{x \to -2^+}{\frac{x-3}{x^2+3x+2}}=\frac{-5}{0^+}==-\infty\)

\(\lim_{x \to -2^-}{\frac{x-3}{x^2+3x+2}}=\frac{-5}{0^-}=+\infty\)

Direi proprio di sì: giustificazione data dal fatto che oltretutto ottieni due limiti differenti. [/quote]

Grazie!! Ma i segni dell'infinito li ho fatti bene? Perchè ho pensato che potesse venire una cosa del tipo:

\(\lim_{x \to -2^-}{\frac{x-3}{x^2+3x+2}}=\frac{-5^-}{0^-}=-\infty\) anzichè \(\lim_{x \to -2^-}{\frac{x-3}{x^2+3x+2}}=\frac{-5}{0^-}=+\infty\)[/quote]

Spero di essermi spiegato...

[Zero87]

Guarda, ragioniamo con calma.

Il numeratore tende a $-5$ sia da destra che da sinistra: siccome $-5<0$ c'è un intorno sia destro che sinistro in cui è negativo. Dunque nei dintorni del limite il numeratore è negativo sia a destra che a sinistra: lasciamolo perdere ma teniamolo a mente.

Per quanto riguarda il denominatore, si annulla per $x=-2$. Tanto per essere precisi, il tutto è $(x+2)(x+1)$ che è positivo per $x<-2$ o $x>-1$ mentre è negativo per $-2 - Per $x<-2$ il denominatore è positivo (sempre in un intorno, in questo caso sinistro, di $-2$)
- Per $x>-2$ il denominatore è negativo (idem sopra)

Quindi
$\lim_(x-> -2^-) \frac{x-3}{x^2+3x+2}= \frac{-5}{0^+}=-\infty$
$\lim_(x->-2^+) \frac{x-3}{x^2+3x+2}= \frac{-5}{0^-}= +\infty$.

Ok, ora che ho ricontrollato, mi viene il contrario.

[gugo82]

[xdom="gugo82"]@ steppox e frankesco: Vi chiedo esplicitamente di chiarire perché postate la stessa tipologia di esercizi dal medesimo IP.

In attesa di chiarimenti, chiudo.[/xdom]

[xdom="gugo82"]Chiarimenti arrivati e passate le 24 ore, quindi riapro.

Mi auguro che quanto accaduto non si ripeta, altrimenti dovremmo prendere provvedimenti seri.[/xdom]

[steppox]

"Zero87":Guarda, ragioniamo con calma.

Il numeratore tende a $-5$ sia da destra che da sinistra: siccome $-5<0$ c'è un intorno sia destro che sinistro in cui è negativo. Dunque nei dintorni del limite il numeratore è negativo sia a destra che a sinistra: lasciamolo perdere ma teniamolo a mente.

Per quanto riguarda il denominatore, si annulla per $x=-2$. Tanto per essere precisi, il tutto è $(x+2)(x+1)$ che è positivo per $x<-2$ o $x>-1$ mentre è negativo per $-2 - Per $x<-2$ il denominatore è positivo (sempre in un intorno, in questo caso sinistro, di $-2$)
- Per $x>-2$ il denominatore è negativo (idem sopra)

Quindi
$\lim_(x-> -2^-) \frac{x-3}{x^2+3x+2}= \frac{-5}{0^+}=-\infty$
$\lim_(x->-2^+) \frac{x-3}{x^2+3x+2}= \frac{-5}{0^-}= +\infty$.


Ok, ora che ho ricontrollato, mi viene il contrario.

Ovviamente sono i miei segni ad essere sbagliati!!! Comunque grazie ho capito!!!