E' esatto il procedimento?

[geovito]

ciao
assegnato il limite $\lim_{x \to \+infty}(x^2+7)/(x+1)3^((x+1)/(x))-(x^2+4)/(x+2)3^cos(1/x)$
Ho provato a risolvere così:
Ho trascurato gli infiniti minori per cui resta $\lim_{x \to \+infty}x3^((x+1)/(x))-x3^cos(1/x)$.
Aggiungo e sottraggo $x$, quindi $\lim_{x \to \+infty}x3^((x+1)/(x))-x3^cos(1/x)-x+x$

Raccolgo a fattor comune $\lim_{x \to \+infty}x(3^(((x+1)/x))-1)-x(3^cos(1/x)-1)$
mi riconduco in entrambi i casi al limite notevole $\lim_{x \to \0}(a^x-1)/x=loga$ ed ho:
$xlog3((x+1)/(x))-xlog3 cos(1/x)$, quindi $xlog3+log3-xlog3 cos(1/x)$.
Mettendo a fattor comune $xlog3$ si ha: $xlog3(1-cos(1/x))+log3$.
Mi riconduco al limite notevole del coseno ed ho $(-xlog3)/(2x^2)+log3$, da cui $-1/2xlog3+log3$ e quindi per $x \to \+infty$ il risultato è $log3$

Questo procedimento è esatto?
Va impostato in modo diverso?
Grazie

[EnderWiggins]

ciao, ascolta, penso ci sia un'imprecisione:

Raccolgo a fattor comune $\lim_{x \to \infty}x(3^((x+1)/x)-1)-x(3^cos(1/x)-1)$
mi riconduco in entrambi i casi al limite notevole $\lim_{x \to 0}(a^x-1)/x=loga$

Non puoi ricorrervi perchè dovresti avere ad esempio $(3^((x+1)/x)-1)/((x+1)/x)$ e comunque per $x->\infty$, $(x+1)/x->1$ e non a $0$. Le cose sono molto più semplici, prova a rivederlo tenendo conto di quest'ultima cosa..

[geovito]

ciao e grazie
ma aggiungendo e sottraendo $x$ perchè non posso raccogliere a fattor comune?

[EnderWiggins]

Puoi tranquillamente, scusa: non era su quello che volevo attirare la tua attenzione ma sul fatto che non ti servisse aggiungere e sottrarre x per poi raccogliere a fattor comune, in quanto la tua situazione non sarebbe cambiata non potendo tu poi ricorrere a quel limite fondamentale. Puoi sbrigartela tranquillamente già senza aggiungere e togliere x.

[geovito]

mi daresti una dritta?Sono un pò piantato....grazie

[ObServer]

Allora, riguardando il tuo procedimento, quando si ha una cosa del tipo

$\lim_{x \to \+infty}x3^((x+1)/(x))-x3^cos(1/x)$

Quello che conta è esclusivamente la velocità degli esponenziali (che tendono entrambi ad 1), ci sei? Per trovare l'esponenziale dominante, prova a pensare che forse potrebbe aiutarti

$f(x) \=\ e^(log(f(x)))$

oppure, potresti fare un limite a parte, dove studi il rapporto dei due esponenziali.

[geovito]

cioè mi conviene scrivere il limite come
$xe^log((x+1)/(x))-xe^logcos(1/x)$? (Il log è in base 3, ma non conosco la notazione per scriverlo).
Ma non capisco a cosa possa servire....

[geovito]

cioè mi conviene scrivere il limite come
? (Il log è in base 3, ma non conosco la notazione per scriverlo).
Ma non capisco a cosa possa servire....

[gugo82]

"vitus":$\lim_{x \to \+infty}(x^2+7)/(x+1)3^((x+1)/(x))-(x^2+4)/(x+2)3^cos(1/x)$

Riparto dall'inizio.

Il limite è nella forma indeterminata [tex]$\infty -\infty$[/tex] ed i "problemi" sono causati essenzialmente dalle funzioni razionali [tex]$\tfrac{x^2+7}{x+1}$[/tex] e [tex]$\tfrac{x^2+4}{x+2}$[/tex] (in quanto i fattori [tex]$3^\tfrac{x+1}{x}$[/tex] e [tex]$3^{\cos \tfrac{1}{x}}$[/tex] vanno a [tex]$3$[/tex] per [tex]$x\to +\infty$[/tex]).

Notiamo però che:

[tex]$\frac{x^2+7}{x+1} =x+\frac{7-x}{x+1}$[/tex] e [tex]$\frac{x^2+4}{x+2} =x+\frac{4-2x}{x+2}$[/tex]

con i secondi addendi dei secondi membri convergenti per [tex]$x\to +\infty$[/tex].
Possiamo scrivere:

[tex]$\frac{x^2+7}{x+1} \ 3^\frac{x+1}{x} -\frac{x^2+4}{x+2} \ 3^{\cos \tfrac{1}{x}} = x\ \left( 3^\frac{x+1}{x} -3^{\cos \frac{1}{x}}\right) +\Big\{ \frac{7-x}{x+1} \ 3^\frac{x+1}{x} -\frac{4-2x}{x+2} \ 3^{\cos \frac{1}{x}}\Big\}$[/tex]

e notare che il secondo gruppo di addendi al secondo membro (ossia quello in parentesi graffe) è convergente a [tex]$3$[/tex] per [tex]$x\to +\infty$[/tex]; pertanto per calcolare il limite iniziale occorre e basta calcolare il limite:

[tex]$\lim_{x\to +\infty} x\ \left( 3^\frac{x+1}{x} -3^{\cos \frac{1}{x}}\right)$[/tex].

Quest'ultimo limite si presenta nella forma indeterminata [tex]$\infty \cdot 0$[/tex] e, stavolta, i "problemi" sono causati dai due esponenziali; ad ogni modo il limite si può risolvere stabilendo quanto vale il [tex]$\lim_{x\to +\infty} \frac{3^\tfrac{x+1}{x} -3^{\cos \tfrac{1}{x}}}{\tfrac{1}{x}}$[/tex] (indeterminato, nella forma più comoda [tex]$\tfrac{0}{0}$[/tex]).

Notiamo che il cambiamento di variabili [tex]$y=\tfrac{1}{x}$[/tex] consente di scrivere:

[tex]$\lim_{x\to +\infty} \frac{3^\tfrac{x+1}{x} -3^{\cos \tfrac{1}{x}}}{\tfrac{1}{x}} =\lim_{y\to 0^+} \frac{3^{1+y}-3^{\cos y}}{y}$[/tex];

abbiamo:

[tex]$3^{1+y}-3^{\cos y} =3^{\cos y} \left( 3^{y+1-\cos y}-1\right)$[/tex];

per il limite fondamentale [tex]$\lim_{y\to 0} \frac{a^y-1}{y}=\ln a$[/tex], per [tex]$y\to 0$[/tex] abbiamo asintoticamente [tex]$3^{y+1-\cos y} \approx \ln 3\ (y+1-\cos y)$[/tex]; per il limite notevole [tex]$\lim_{y\to 0} \frac{1-\cos y}{y^2} =\frac{1}{2}$[/tex], per [tex]$y\to 0$[/tex] abbiamo asintoticamente [tex]$3^{y+1-\cos y} \approx \ln 3\ (y+\frac{1}{2} y^2) \approx \ln 3 \ y$[/tex], quindi la funzione [tex]$3^{1+y-\cos y} -1$[/tex] è un infinitesimo del primo ordine rispetto ad [tex]$y$[/tex] per [tex]$y\to 0$[/tex] e risulta:

[tex]$\lim_{y\to 0^+} \frac{3^{1+y-\cos y}-1}{y} =\ln 3$[/tex]

Ne consegue che:

[tex]$\lim_{x\to +\infty} x\ \left( 3^\frac{x+1}{x} -3^{\cos \frac{1}{x}}\right) =\lim_{y\to 0^+} \frac{3^{1+y}-3^{\cos y}}{y} =\lim_{y\to 0^+} 3^{\cos y} \ \frac{3^{1+y-\cos y}-1}{y} =3\ln 3$[/tex]

e, mettendo tutto insieme, troviamo infine:

[tex]$\lim_{x\to +\infty} \frac{x^2+7}{x+1} \ 3^\frac{x+1}{x} -\frac{x^2+4}{x+2} \ 3^{\cos \tfrac{1}{x}} = \lim_{x\to +\infty} x\ \left( 3^\frac{x+1}{x} -3^{\cos \frac{1}{x}}\right) +\Big\{ \frac{7-x}{x+1} \ 3^\frac{x+1}{x} -\frac{4-2x}{x+2} \ 3^{\cos \frac{1}{x}}\Big\} =3+3\ln 3$[/tex].

[geovito]

Grazie,
sospettavo che la mia soluzione fosse troppo "personalizzata"...