E' crescente questa funzione?

[olanda2000]

La funzione così definita :

f(x) = x per x appartenente a Q (razionale)
f(x) = 0 per x non appartenente a Q (irrazionale)

è crescente nell'origine , ma non in alcun suo intorno.

Come mai ? Dipende dal fatto che tra due reali c'è sempre un numero razionale?
Però non capisco la crescenza nel punto x=0

Grazie e saluti

[donald_zeka]

E che diamine significa una funzione crescente in un punto? La funzione in un punto vale f(x)...come fa a crescere o decrescere...

[olanda2000]

significa che non hai studiato : Funzioni monotòne in un punto
Una funzione f si dice crescente in un punto c del suo dominio se esiste un intorno di c tale che, nell'intorno, x<= c implica f(x)<= f(c) Ovvia la modifica per il concetto di funzione decrescente. Se le disuguaglianze valgono in senso stretto, si parlerà di funzioni strettamente crescenti o strettamente decrescenti.

[donald_zeka]

Ho studiato e meglio di te, la definizione non ha nessun senso

[gio73]

Ciao olanda
trovo questa domanda molto difficile...

possiamo azzardare e dire che questa funzione non è mai continua?
L'origine però è un punto un po' particolare
$f(0)=0$ e 0 è razionale
se ci spostiamo un po' $(0^+; 0^-)$ cosa succede?

[gio73]

beh UP

trovo la domanda molto insidiosa, c'è il concreto rischio di dire delle castronerie e proprio per questo mi interessa

allora comincio io così semai la figuraccia la faccio io

Dicevamo che la nostra funzione vale 0 quando $x=0$, io non so che numero viene subito dopo(prima) di zero, ma i casi sono 2:

o è razionale o non lo è

caso 1: il numero è razionale di conseguenza devo prendere in considerazione $f(x)=x$ e quindi è continua perchè quella funzione è continua
caso 2: il numero non è razionale di conseguenza devo prendere $f(x)=0$ e quindi è continua perchè è costante, il valore è sempre 0

cosa succede se mi sposto anche di pochissimo ($10^(-100)$)? Che avrò infiniti numeri tra zero e pochissimo alcuni corrisponderanno al loro valore ad esempio $f(10^(-102))=10^(-102)$; $f(10^(-101))=10^(-101)$, molti altri, quelli irrazionali, corrisponderanno a zero e quindi la funzione non è continua, no matter how short is the gap.

[olanda2000]

la tua risposta è compatibile con quella data dal testo (Rodino, lez.analisi matematica ,p.145 - Levrotto e Bella Torino).
Nel testo ne usa di tali funzioni, anche f(razionale)=x^2 , f(irraz)= 0 per fare un'esempio di funzione convessa nell'origine ma non in un intorno dell'origine! Mi ricordano la funzione di Dirichlet , casi patologici insomma. Ciao

[olanda2000]

caso 1: il numero è razionale di conseguenza devo prendere in considerazione $f(x)=x$ e quindi è continua perchè quella funzione è continua
caso 2: il numero non è razionale di conseguenza devo prendere $f(x)=0$ e quindi è continua perchè è costante, il valore è sempre 0


Ma allora in entrambi i casi è crescente nell'origine! quindi il testo aveva ragione! Sia y=x che y=0 sono crescenti in zero!

[Ernesto011]

É crescente nell'origine, infatti preso un intorno $I=[-r,r]$ si ha che $ \forall x in I , x<=0 => f(x)<=f(0)=0$ (infatti $f(x)$ è o negativo oppure 0, per $x$ negativo)

Non è crescente in un intorno di 0.
Supponiamo che tale intorno sia $J$ allora esiste $r>0$ tale che $I=[-r,r] subset J$ e $f$ è ivi crescente. Per la densitá di $QQ$ si ha che: esiste un irrazionale $s \in [0,r]$, ed esiste un razionale $q in [0,s]$ diverso da 0.
Ma $0

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[anto_zoolander]

Per tutti.
[ot]Non mi fate arrabbiare vulplasir.[/ot]

@olanda
Un po’ di umiltà non ha mai fatto male, bisogna mettere in dubbio ciò che si fa. Quantomeno ogni tanto....

[olanda2000]

<@olanda

Il tuo amico ha detto che "la definizione non ha nessun senso" benchè sia riportata e scritta in molti testi , come nel libro di testo indicato , testo ufficiale alla Facoltà di Matematica e del Politecnico di Torino. Inoltre, come vedi,le risposte arrivate hanno spiegato la definizione, che era quindi ben posta,ben definita,coerente, fondata e pertinente.

[anto_zoolander]

Non siamo ‘amici’ nel senso stretto della parola, ma è una persona che stimo molto a livello di conoscienza scientifica.
Purtroppo un difetto lo conosco: è un ingegnere

Io sono d’accordo con lui nell’affermare che dire funzione crescente in un punto non abbia alcun senso.
Il motivo è dato dalla sola definizione di crescenza di una funzione su un insieme,

$f:A->RR$ funzione

$f$ è crescente in $A$ se $forallx,y inA,xf(x)leqf(y)$

Alcuni testi decidono di usare $xleqy$ anziché $xf(x)=f(y)$
E darebbe senso al dire che una funzione definita su un singoletto è sempre crescente, decrescente e costante. Il problema è che una funzione definita su un singoletto ha per grafico un punto, che non si smuove da dov’è messo.

Usando quindi la prima definizione di crescenza, giustamente una funzione su un singoletto non ha senso di aver definita una monotonia visto che non esistono almeno due punti distinti e quindi ha senso supporre che $A$ sia un insieme non ridotto a un singoletto.
Ha senso parlare invece di funzione crescente in un insieme quale un intorno di un punto.

Prendiamo $f(x):={(x if x inQQ),(0 if x inRRsetminusQQ):}$

Questa funzione pertanto non è crescente manco per sbaglio in un qualsiasi intorno nell’origine.
Per il semplice fatto che preso $UinI(0)$ basta prendere

[size=130]$x,yinU:x inQQ,y inRRsetminusQQ,0x=f(x)>f(y)=0$[/size]

Ricordati che un intorno dell’origine è un qualsiasi insieme contenente un aperto contenente l’origine.
Quindi considerando che ogni intorno dell’origine contiene almeno una palla aperta centrata nell’origine, è sempre possibile trovare in ogni intorno due valori che mi restituiscono la ‘mancata crescenza’ nell’intorno.

Anche se non si capisce se tu stia parlando di una funzione diversa da quella sopra scritta, intendendo due funzioni distinte, che valgono una sui razionali e una sugli irrazionali.

Ovvero $f(x)=x,forallx inQQ$ e $g(x)=0,forallx inRRsetminusQQ$
In questo caso $f$ è crescente in un tu tutto l’insieme di definizione e in particolare $g$ è non crescente, non decrescente e costante.

dall’avere una funzione $f:A->RR$ tale che $0inA$ e che sia crescente in $A$ si può dire che $forallx,y inA,xf(x)leqf(y)$ e passare al dire che fissando $y=0$ si ha $forallx inA,x<0=>f(x)leqf(0)$
ma questo è lungi dall’essere la definizione crescenza in un punto, bensì conseguenza della definizione di crescenza, o crescenza stretta

Quindi SECONDO ME l’esercizio chiede di verificare che $f$ non sia crescente in alcun intorno dell’origine, ma se si fissa $y=0$ vale la proposizione $forallx inRR,x<0=>f(x)leqf(0)$

Io ho trovato questo che e quello di cui penso tu stia parlando.
È una definizione abbastanza obsoleta e fuorviante a mio avviso, visto che da informazioni su un bel nulla. È più bello il nome della definizione che il definire con questo nome, tale cosa.
Se poi tu mi scrivi ‘senti io definisco funzione crescente in un punto in tal modo’ allora ti dico amen.
Questo è un forum e in un forum si discute e ci si mette in discussione, quindi mettiti in discussione come ho appena fatto io avanzando una questione ed esponendotela.


Saluti.

[Sk_Anonymous]

"anto_zoolander":[...] Io sono d’accordo con lui nell’affermare che dire funzione continua in un punto non abbia alcun senso. [...]

Ehm ehm...

[anto_zoolander]

Lo sapevo che una cosa l’avrei sbagliata.... correggo

[axpgn]

Che una funzione sia "continua in un punto isolato del suo dominio", è vero, lo dice gugo82 ... ... ma che abbia senso è un altro paio di maniche ...

Probabilmente è una convenzione utile (come tante altre) che permette di evitare "rogne" ...

Cordialmente, Alex

P.S.:
Anto ha sempre ragione

[donald_zeka]

Il tuo amico ha detto che "la definizione non ha nessun senso" benchè sia riportata e scritta in molti testi

Si, riportata e scritta dal tuo professore nel libro scritto da lui nella tua università per il tuo corso di laurea

[Ernesto011]

Ma non capisco questo accanimento nei confronti di una definizione,e nei confronti di una persona che studia su un libro, è stupido.
In matematica si possono criticare dimostrazioni, teoremi, esercizi. Ma una definizione scritta su un libro, da un matematico? Anche a me hanno sempre insegnato che la monotonia in un punto non esiste, e che é un fatto locale, esisteranno tuttavia modi diversi di vederla.

[Sk_Anonymous]

[ot]Peraltro, fun fact (mica poi tanto fun, ma che non vuole evocare alcun principio di autorita'), il tizio che ha scritto il libro e' stato studente di dottorato (l'unico non scandinavo, mi pare) di Lars Hörmander. Sarei curioso di sapere come sia finito qui a quei tempi, ma questa e' un'altra storia...[/ot]

[anto_zoolander]

Non si critica tanto la definizione, ma la posizione radicale da cui non ci si discosta.

@delirium
[ot]tutte cose tu trovi.[/ot]