è corretto questo limite
Ciao a tutti
devo calcolare il seguente limite
[tex]\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{x+\sin (x^{a})}{x^2} \right)[/tex]
con $a>0$
il mio ragionamento è stato questo
[tex]\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{x+\sin (x^{a})}{x^2} \right) = \lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{x}{x^2} + \frac{\sin (x^{a})}{x^2} \right) =0 + \lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{\sin (x^{a})}{x^2} \right)[/tex]
quando mi trovo davanti a limiti come quello quest'ultimo ho sempre dei dubbi
è corretto dire che dato che il seno assume sempre valori compresi tra $-1$ e $1$ e viene diviso per $infty^2$ il limite dia 0 ?
grazie mille
devo calcolare il seguente limite
[tex]\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{x+\sin (x^{a})}{x^2} \right)[/tex]
con $a>0$
il mio ragionamento è stato questo
[tex]\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{x+\sin (x^{a})}{x^2} \right) = \lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{x}{x^2} + \frac{\sin (x^{a})}{x^2} \right) =0 + \lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{\sin (x^{a})}{x^2} \right)[/tex]
quando mi trovo davanti a limiti come quello quest'ultimo ho sempre dei dubbi
è corretto dire che dato che il seno assume sempre valori compresi tra $-1$ e $1$ e viene diviso per $infty^2$ il limite dia 0 ?
grazie mille
Risposte
devi discutere la variazione del parametro $\alpha$:
se $\alpha=2$ evidentemente $\lim_{x \to \infty} \(\frac{x+\sin (x^{a})}{x^2})=0$
se $\alpha<2$ $\lim_{x \to \infty} \(\frac{x+\sin (x^{a})}{x^2})= .... $
se $\alpha>2$ $\lim_{x \to \infty} \(\frac{x+\sin (x^{a})}{x^2})= .... $
se $\alpha=2$ evidentemente $\lim_{x \to \infty} \(\frac{x+\sin (x^{a})}{x^2})=0$
se $\alpha<2$ $\lim_{x \to \infty} \(\frac{x+\sin (x^{a})}{x^2})= .... $
se $\alpha>2$ $\lim_{x \to \infty} \(\frac{x+\sin (x^{a})}{x^2})= .... $
"Noisemaker":
devi discutere la variazione del parametro $\alpha$:
se $\alpha=2$ evidentemente $\lim_{x \to \infty} \(\frac{x+\sin (x^{a})}{x^2})=1$
Sicuro?
"Summerwind78":
quando mi trovo davanti a limiti come quello quest'ultimo ho sempre dei dubbi
è corretto dire che dato che il seno assume sempre valori compresi tra $-1$ e $1$ e viene diviso per $0^2$ il limite dia $infty$ ?
grazie mille
Sopra la frazione hai una cosa che oscilla tra -1 e 1, sotto non hai 0, ma hai una cosa che diventa sempre più grande.
Potrai avere per alcuni termini $1/1000$, poi $(-0.5)/(10000)$, poi $(0.9)/(1000000000)$.
Nessuna idea su cosa fa quella frazione ?
"dissonance":
[quote="Noisemaker"]devi discutere la variazione del parametro $\alpha$:
se $\alpha=2$ evidentemente $\lim_{x \to \infty} \(\frac{x+\sin (x^{a})}{x^2})=1$
Sicuro?[/quote]
la fretta ... scusa...
$\lim_{x \to \infty} \(\frac{x+\sin (x^{2})}{x^2})=0$
@quinzio:
ho corretto il post, mi ero sbagliato a scrivere un po' di cose (spero di averle corrette tutte).
anche discutendo $a$ a me viene sempre che il limite è $0$
per $a=1$ ho un
[tex]\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{\sin (x)}{x} = 0[/tex] in quanto l'ultimo limite da $0$ anche lui
per $a=2$ con sostituzione $x^2=q$
[tex]\lim_{x\rightarrow \infty, q\rightarrow \infty} \frac{1}{x} + \frac{\sin (q)}{q} = 0[/tex]
e per $a>2$ per il ragionamento di dissonance (che è quello che avevo pensato inizialmente) dovrei avere di nuovo $0$
Corretto?
Grazie
ho corretto il post, mi ero sbagliato a scrivere un po' di cose (spero di averle corrette tutte).
anche discutendo $a$ a me viene sempre che il limite è $0$
per $a=1$ ho un
[tex]\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{\sin (x)}{x} = 0[/tex] in quanto l'ultimo limite da $0$ anche lui
per $a=2$ con sostituzione $x^2=q$
[tex]\lim_{x\rightarrow \infty, q\rightarrow \infty} \frac{1}{x} + \frac{\sin (q)}{q} = 0[/tex]
e per $a>2$ per il ragionamento di dissonance (che è quello che avevo pensato inizialmente) dovrei avere di nuovo $0$
Corretto?
Grazie
Ma non era più semplice vederlo così? Per ogni $\alpha$ si ha che $|\sin(x^\alpha)|\le 1$ e pertanto, dalla disuguaglianza triangolare
$|x+\sin(x^\alpha)|\le |x|+1$
per cui
$|{x+\sin(x^\alpha)}/x^2|\le {|x|+1}/x^2\to 0$ per $x\to+\infty$
e pertanto il limite risulta sempre uguale a zero.
$|x+\sin(x^\alpha)|\le |x|+1$
per cui
$|{x+\sin(x^\alpha)}/x^2|\le {|x|+1}/x^2\to 0$ per $x\to+\infty$
e pertanto il limite risulta sempre uguale a zero.
e secondo te la disuguaglianza triangolare io me la ricordo??? 
Grazie mille per l'aiuto
Ciao
Grazie mille per l'aiuto
Ciao
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