E' corretto?
Posto in questa sezione, dato che la domanda riguarda un integrale più che una questione di calcolo stocastico.
Sia [tex]\{ B_t \}_{t\in\mathbb{R}^+}[/tex] un moto browniano (variabile aleatoria, per ogni t, a valori reali e normale di media 0 e varianza t). Calcolare [tex]E\left[e^{-\vartheta B_t^2}\right][/tex].
Il conto da fare sarebbe:
[tex]\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi t}} \int_{\mathbb{R}} e^{-\left(\vartheta+\frac{1}{2t}\right)x^2}\,dx[/tex]. Giusto fin qui?
Se sì, vi chiedo se è giusto anche il mio risultato: [tex]$\frac{1}{\sqrt{2\vartheta t +1}}[/tex], ovviamente per [tex]$\vartheta> -\frac{1}{2t}[/tex].
Che dite?
Sia [tex]\{ B_t \}_{t\in\mathbb{R}^+}[/tex] un moto browniano (variabile aleatoria, per ogni t, a valori reali e normale di media 0 e varianza t). Calcolare [tex]E\left[e^{-\vartheta B_t^2}\right][/tex].
Il conto da fare sarebbe:
[tex]\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi t}} \int_{\mathbb{R}} e^{-\left(\vartheta+\frac{1}{2t}\right)x^2}\,dx[/tex]. Giusto fin qui?
Se sì, vi chiedo se è giusto anche il mio risultato: [tex]$\frac{1}{\sqrt{2\vartheta t +1}}[/tex], ovviamente per [tex]$\vartheta> -\frac{1}{2t}[/tex].
Che dite?
Risposte
Nessuno vuole darci un'occhiata un attimo? 
Si guarda a me torno come hai fatto;
anche perchè se vuoi puoi confrontarla con la funzione generatrice dei momenti di una chi-quadro.
Ciao
anche perchè se vuoi puoi confrontarla con la funzione generatrice dei momenti di una chi-quadro.
Ciao
Mi pare si tratti di applicare la definizione (le cose di CdP le ricordo a malapena)...
Insomma la media di una funzione [tex]$g$[/tex] di una variabile aleatoria [tex]$X$[/tex] con f.d.d. [tex]$f$[/tex] mi pare si scriva:
[tex]$\mathbb{E} [g(X)]:=\int_{-\infty}^{+\infty} g(x)\ f(x) \ \text{d} x$[/tex];
nel tuo caso [tex]$g(X):=e^{-\vartheta X^2}$[/tex] ed [tex]$f(x):=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\ e^{-\frac{x^2}{2t}}$[/tex], quindi mi sembra tutto a posto.
Il risultato pure, giacché si ricava con la sostituzione [tex]$z=\sqrt{2\vartheta t+1}\ x$[/tex].
*** EDIT: Macché ineccepibile... Avevo mancato una radice quadrata!
Insomma la media di una funzione [tex]$g$[/tex] di una variabile aleatoria [tex]$X$[/tex] con f.d.d. [tex]$f$[/tex] mi pare si scriva:
[tex]$\mathbb{E} [g(X)]:=\int_{-\infty}^{+\infty} g(x)\ f(x) \ \text{d} x$[/tex];
nel tuo caso [tex]$g(X):=e^{-\vartheta X^2}$[/tex] ed [tex]$f(x):=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\ e^{-\frac{x^2}{2t}}$[/tex], quindi mi sembra tutto a posto.
Il risultato pure, giacché si ricava con la sostituzione [tex]$z=\sqrt{2\vartheta t+1}\ x$[/tex].
*** EDIT: Macché ineccepibile... Avevo mancato una radice quadrata!
Grazie... Ineccepibile come al solito! 
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