E' convessa questa funzione?

Filippo121
La funzione definita così:

$ x^2 $ se x appartiene a Q

0 se x non appartiene a Q

Nell'origine è derivabile e convessa (perchè f(x) è uguale al valore della tangente in x= 0 , quindi secondo la definizione di convessità in un punto lo è ) ,
ma non esiste alcun intorno di x= 0 nel quale intorno è convessa.
Quindi essere convessa in un punto non implica essere convessa in tutto un intervallo (il viceversa invece accade sempre).

Come mai non è convessa in un intervallo? Perchè è discontinua?

Grazie

Risposte
@melia
Perché in qualunque punto razionale di un intorno di 0 hai punti della funzione che stanno sotto alla retta tangente in quel punto.

gugo82
"Filippo12":
La funzione definita così:

$ f(x) := \{ (x^2, text(, se ) x in QQ) , (0, text(, se ) x notin QQ) :}$

Nell'origine è derivabile e convessa (perchè f(x) è uguale al valore della tangente in x= 0 , quindi secondo la definizione di convessità in un punto lo è )

“Convessità in un punto” è il male.
Liberati di questa definizione inutile.

"Filippo12":
[…] ma non esiste alcun intorno di x= 0 nel quale intorno è convessa.
Quindi essere convessa in un punto non implica essere convessa in tutto un intervallo (il viceversa invece accade sempre).

Come mai non è convessa in un intervallo? Perchè è discontinua?

Esistono funzioni convesse discontinue (negli estremi del loro intervallo di convessità), quindi a rigore no; ma si dimostra facilmente che una funzione convessa in un intervallo è continua nei punti interni ad esso. Nel tuo caso, la funzione fa parecchio schifo, quindi… :wink:

Oppure, altro argomento. Sai che, per densità, in ogni intervallo non degenere cadono infiniti punti razionali ed irrazionali.
Scegliamo due irrazionali $xi_1< xi_2$ in tale intervallo e supponiamo, per assurdo che $f$ sia convessa: per segno di $f$ e disuguaglianza di convessità, per ogni $xi_1 < x < xi_2$ dovresti avere $0<= f(x) <= (x-xi_1)/(xi_2-xi_1) f(xi_1) + (xi_2 - x)/(xi_2 - xi_1) f(xi_2) = 0$, dunque $f(x) =0$; ma se prendi $x$ razionale trovi… :wink:

Filippo121
grazie ad entrambi, ho capito !

Filippo121
“Convessità in un punto” è il male.
Liberati di questa definizione inutile.



Infatti...il libro nella definizione di convessità in un punto dice " una f(x) è convessa in un punto x se esiste un intorno del punto x in cui è soddisfatta la diseguaglianza
f(x) - retta tangente >= 0 " .
Ma se dopo mi dice che la funzione che ho riportato nel mio quesito è convessa in un punto senza esserlo in un intorno del punto stesso! Non si è contraddetto?? La definizione è stata contraddetta! Ciao

Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.