Due teoremi

[CaMpIoN]

Il mio libro accenna il seguente teorema:
Se una funzione è monotòna e continua in un'intervallo allora anche la sua inversa è continua.

Dice che si dimostra tale teorema, ma non trovo niente in giro sul web che parli di questo teorema ed ovviamente nulla riguardo alla dimostrazione.

Il teorema dei valori intermedi per una funzione $f$ dice che la funzione deve essere continua, ma questo per deduzione o perché la dimostrazione sfrutta il teorema degli zeri in cui la funzione deve essere per forza continua?
Vi sono grato in anticipo per le risposte . Buona giornata.

[Epimenide93]

"CaMpIoN":Il mio libro accenna il seguente teorema:
Se una funzione è monotòna e continua in un'intervallo allora anche la sua inversa è continua.

Dice che si dimostra tale teorema, ma non trovo niente in giro sul web che parli di questo teorema ed ovviamente nulla riguardo alla dimostrazione.

Puoi trovare una dimostrazione ad esempio su Prodi - Analisi Matematica pp. 190, 191.

"CaMpIoN":Il teorema dei valori intermedi per una funzione $f$ dice che la funzione deve essere continua, ma questo per deduzione o perché la dimostrazione sfrutta il teorema degli zeri in cui la funzione deve essere per forza continua?

Non capisco cosa intendi per deduzione, comunque è un'ipotesi del teorema, se l'ipotesi non è soddisfatta si possono trovare dei controesempi.

[CaMpIoN]

Quindi il teorema è giusto? mi basta sapere questo per ora perché il problema è che non trovo nulla sul web, di solito si trova sempre qualcosa, e volevo almeno avere un'idea di cosa cercare..

"Epimenide93":
...
Non capisco cosa intendi per deduzione, comunque è un'ipotesi del teorema, se l'ipotesi non è soddisfatta si possono trovare dei controesempi.

Il teorema dei valori intermedi (definizione di wikipedia) dice che avendo una funzione continua $f: [a,b] \to \mathbb{R}$, sia $f(a)f(b)$ allora la funzione assume tutti valori compresi tra $f(a)$ ed $f(b)$.
Praticamente se ho un $y_0 \in f([a,b])$, esiste un $x_0 \in [a,b]$ tale che $y_0=f(x_0)$.
Perché la funzione deve essere continua? Non può accadere quella situazione anche se la funzione non è continua?

Riguardo alla deduzione mi correggo: leggendo il teorema, credevo che $\forall x \in [a,b] \quad f(x) \in f([a,b])$. Invece è il contrario in quanto su wikipedia stesso vi è una rappresentazione grafica che mostra che non tutti gli $x \in [a,b]$ cadono in $f([a,b])$.
Allora correggo la domanda: la funzione è considerata continua perché nella dimostrazione si utilizza il teorema degli zeri (teorema di Bolzano) che è un teorema basato sulle funzioni continue?
Grazie per la risposta, spero che si capisca ciò che intendo dire..

[Epimenide93]

"CaMpIoN":Quindi il teorema è giusto?

Sì.

"CaMpIoN":Non può accadere quella situazione anche se la funzione non è continua?

Infatti il teorema esprime una condizione sufficiente, non una necessaria.

"CaMpIoN":la funzione è considerata continua perché nella dimostrazione si utilizza il teorema degli zeri (teorema di Bolzano) che è un teorema basato sulle funzioni continue?

Il teorema dei valori intermedi si può dimostrare anche senza passare per il teorema degli zeri. Serve l'ipotesi di continuità perché se la funzione non è continua in generale il teorema non vale.

[CaMpIoN]

Perché non vale?
Forse perché può esistere un punto dell'intervallo $f([a,b])$ per cui non si ha nessuna controimmagine corrispondente, il che deve esistere per forza per il teorema?
Questo equivale a dire che la funzione è suriettiva in $f([a,b])$?

[Epimenide93]

"CaMpIoN":può esistere un punto dell'intervallo $f([a,b])$ per cui non si ha nessuna controimmagine corrispondente, il che deve esistere per forza per il teorema

Precisamente. Sei in grado di fornirmi esplicitamente un esempio di funzione non continua che non soddisfa l'enunciato del teorema?

"CaMpIoN":Questo equivale a dire che la funzione è suriettiva in $f([a,b])$?

Il teorema implica che la funzione sia suriettiva in \(f([a,b])\) (si parla di equivalenza solo nel caso di doppia implicazione).

[CaMpIoN]

Può essere questa definita a tratti:
\(\displaystyle f(x)=\left \{
\begin{array}{lc}
3x+2 & 2\leq x\leq 8\\
x^2 & 10\leq x\leq 20
\end{array}
\right.
\)
La funzione è del tipo $f: [2,20] \to [8,400]$ ed è discontinua in tutti i punti dell'intervallo $]8,10[$, quindi esistono punti di $[8,400]$ per cui non ci sono controimmagini corrispondenti, cioè non è suriettiva in $[8,400]$.
giusto?

[Epimenide93]

No, qui c'è un problema, quella funzione non è proprio definita in \(]8,10[\), quindi non è una funzione \([2,20] \to [8,400]\) ed in particolare non è una funzione definita su un intervallo. Hai trovato un controesempio, ma facendo cadere un'ipotesi diversa da quella che stavamo discutendo.

[CaMpIoN]

Penso di averla trovata:
\(\displaystyle f(x)=\frac{x}{|x|}+x \)
La funzione, se non sbaglio per l'ennesima volta, ha un punto di discontinuità in $0$: $0$ infatti non appartiene al dominio della funzione e quindi non può essere un punto isolato, è però un punto di accumulazione per il dominio e per questo si potrebbe calcolare il limite nel punto. I limiti destro e sinistro in $0$ sono però diversi, quindi il limite in $0$ non esiste pertanto la funzione è discontinua nel punto.

A questo punto restringiamo il dominio in $[-3,3]$ si ha una funzione del tipo $f: [-3,3] \to [-4,4]$.
La funzione è quindi discontinua nell'intervallo $[-3,3]$ ed inoltre esistono punti di $[-4,4]$ per cui non si hanno controimmagini corrispondenti, ad esempio il punto $\frac{1}{2}$.
Giusto? Se è giusto ora mi è ben chiaro perché la funzione deve essere continua nell'intervallo, infatti è per la discontinuità nel punto $0$ che si hanno dei "buchi" nell'intervallo $[-4,4]$.

[Epimenide93]

Va bene quasi tutto. Solo, perché le tue considerazioni siano corrette (ovvero perché la funzione sia definita su tutto il dominio) devi scegliere un valore in cui mandare lo \(0\), perché per ora in \(0\) la funzione non solo è discontinua, ma non è proprio definita. Per il resto ci siamo.

[CaMpIoN]

Conosci qualche funzione che ha completamente quella caratteristica?
Ad ogni modo grazie per l'aiuto

[Gi81]

$f:[0,1]->RR$ così definita: $f(x)=100$ se $x in [0,1)$ e $f(1)=999$. Si ha $f(0)=100<999=f(1)$, ma...

[gugo82]

"CaMpIoN":Il mio libro accenna il seguente teorema:
Se una funzione è monotòna e continua in un'intervallo allora anche la sua inversa è continua.

Dice che si dimostra tale teorema, ma non trovo niente in giro sul web che parli di questo teorema ed ovviamente nulla riguardo alla dimostrazione.

Questo teorema, mi pare, si chiami Inverso del Teorema di Bolzano per le funzioni monotone, ma così com'è enunciato esso è falso. Ciò si può vedere immediatamente dalla seguente figura:
[asvg]xmin=0; xmax=3; ymin=0; ymax=3;
axes("","");
strokewidth=2; stroke="red";
path([[0,0],[1,1],[2,1],[3,2]]);[/asvg]
la quale rappresenta il grafico di una funzione continua e crescente, ma non invertibile.
Affinché il teorema risulti vero c'è bisogno della stretta monotònia della funzione in gioco.

La dimostrazione è banale.

Dim.: Supponi che la funzione \(f:I\to \mathbb{R}\) sia strettamente monotòna in \(I\); allora, essa è invertibile (perché la stretta monotonia ti assicura che ogni valore in \(f(I)\) è assunto un'unica volta) e la \(f^{-1}\) conserva la stessa monotònia di \(f\) (si dimostra facilmente).
L'ipotesi di continuità, attraverso il Teorema dei Valori Intermedi, ti assicura che \(J:=f(I)\) è un intervallo (e la stretta monotonia ti assicura che \(J\) non è degenere, cioè non si riduce ad un unico punto, non appena \(I\) non lo è).
La \(f^{-1}\), essendo monotòna, o è continua o ha unicamente discontinuità di prima specie (cioé "a salto") in \(J\).
Per assurdo, supponiamo che \(f^{-1}\) non sia continua in \(J\), sicché esiste almeno un punto \(y_0\in J\) in cui:
\[
\lim_{y\to y_0} f^{-1}(y) \neq f^{-1}(y_0)
\]
(se \(y_0\) è un estremo di \(J\), il limite di cui sopra è da intendersi solo come limite da destra o solo come limite da sinistra, a seconda dei casi).
Tanto per fissare le idee, supponiamo che \(f^{-1}\) sia strettamente crescente, che \(y_0\) sia un punto in cui sia lecito calcolare il limite da destra e che:
\[
\lim_{y\to y_0^+} f^{-1}(y) \neq f(y_0)
\]
(negli altri casi, la dimostrazione è del tutto analoga).
Per il Criterio di Regolarità delle Funzioni Monotòne, vale l'uguaglianza:
\[
\lim_{y\to y_0^+} f^{-1}(y) = \inf_{y>y_0} f^{-1}(y)\; ,
\]
perciò si ha:
\[
f^{-1}(y_0)\leq \lim_{y\to y_0^+} f^{-1}(y)
\]
e dall'ipotesi segue:
\[
f^{-1}(y_0)< \lim_{y\to y_0^+} f^{-1}(y)\; ,
\]
cioé:
\[
f^{-1}(y_0)< \inf_{y>y_0} f^{-1}(y)\; .
\]
Posto \(\lambda =\inf_{y>y_0} f^{-1}(y)\), prendiamo un valore \(\xi \in ]f^{-1}(y_0),\lambda[\), cioé un numero tale che:
\[
f^{-1}(y_0)<\xi < \lambda\; ;
\]
chiaramente \(f^{-1}(y_0)\in I=f^{-1}(J)\) e, d'altra parte, anche \(\lambda \in I\) (infatti, preso un \(y_1>y_0\) che stia ancora in \(J\), risulta \(f^{-1}(y_0)<\lambday_0\) tale che:
\[
f^{-1}(y_0) \]
da cui segue:
\[
\lambda = \inf_{y>y_0} f^{-1}(y) \leq f^{-1}(\eta) < \lambda
\]
il che è assurdo.

Pertanto, la \(f^{-1}\) non può presentare discontinuità in alcun punto del proprio dominio \(J\), i.e. \(f^{-1}\) è necessariamente continua in \(J\). \(\square\)

[CaMpIoN]

La definizione che ho dato io sbaglio solo di un termine, cioè io ho scritto che la funzione è monotòna e non "strettamente monotòna"?

[CaMpIoN]

@Gi8: La seguente funzione è definita anche in 0, ed è in esso è discontinua:
\(\displaystyle f(x)=\mbox{sgn}(x)+x \)
Con
\(\displaystyle \mbox{sgn}(x)=\left\{
\begin{array}{lc}
\frac{x}{|x|} & x\neq 0\\
0 & x=0
\end{array}
\right.
\)
Va bene questa?

[gugo82]

"CaMpIoN":La definizione [...]

Non si tratta di "definizione", ma di enunciato.

"CaMpIoN":[...] che ho dato io sbaglio solo di un termine, cioè io ho scritto che la funzione è monotòna e non "strettamente monotòna"?

Certo.

Inoltre, il teorema citato non si chiama come ho detto nel post precedente (ricordavo male).
Infatti, l'Inverso del Teorema di Bolzano per funzioni monotòne è il seguente:

Siano \(I\) un intervallo ed \(f:I\to \mathbb{R}\) una funzione.
Se \(f\) è monotòna e se \(f(I)\) è un intervallo, allora \(f\) è continua.

[CaMpIoN]

"gugo82":[quote="CaMpIoN"]La definizione [...]

Non si tratta di "definizione", ma di enunciato.[/quote]
Il mio forte nel sbagliare sta proprio nelle cose che dico xD, mi scuso..

"gugo82":Inoltre, il teorema citato non si chiama come ho detto nel post precedente (ricordavo male).
Infatti, l'Inverso del Teorema di Bolzano per funzioni monotòne è il seguente:

Siano \(I\) un intervallo ed \(f:I\to \mathbb{R}\) una funzione.
Se \(f\) è monotòna e se \(f(I)\) è un intervallo, allora \(f\) è continua.

Il teorema di Bolzano ha il seguente enunciato:
Data una funzione $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ continua, se $f(a) \cdot f(b)<0$ allora esiste almeno un $x_0 \in [a,b]$ tale che $f(x_0)=0$.
Su wikipedia dice che se $f$ è strettamente monotòna in $[a,b]$ allora l'enunciato si modifica nel seguente modo:
Data una funzione $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ strettamente monotòna e continua, se $f(a) \cdot f(b)<0$ allora esiste, ed è unico, un $x_0 \in [a,b]$ tale che $f(x_0)=0$.

L'inverso dovrebbe essere quindi:
Data una funzione $f: [a,b] \to \mathbb{R}$, se esiste unico un $x_0 \in [a,b]$ tale che $f(x_0)=0$ allora la funzione è strettamente monotòna e continua in $[a,b]$.
Non capisco cosa implica il tuo teorema enunciato.

[gugo82]

"CaMpIoN":[quote="gugo82"]Inoltre, il teorema citato non si chiama come ho detto nel post precedente (ricordavo male).
Infatti, l'Inverso del Teorema di Bolzano per funzioni monotòne è il seguente:

Siano \(I\) un intervallo ed \(f:I\to \mathbb{R}\) una funzione.
Se \(f\) è monotòna e se \(f(I)\) è un intervallo, allora \(f\) è continua.

Il teorema di Bolzano ha il seguente enunciato:
Data una funzione $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ continua, se $f(a) \cdot f(b)<0$ allora esiste almeno un $x_0 \in [a,b]$ tale che $f(x_0)=0$.[/quote]
Quello enunciato sopra è il cosiddetto Teorema degli Zeri (per le funzioni continue).

Di solito si chiama Teorema di Bolzano (chiamato così non per la città, ma per il matematico che l'ha scoperto ) quello che alcuni autori chiamano Teorema dei Valori Intermedi, cioé:

Siano \(I\) un intervallo ed \(f:I\to \mathbb{R}\).
Se \(f\) è continua in \(I\), allora la \(f\) assume ogni valore compreso tra i suoi estremi inferiore e superiore.

In altre parole, se \(f\) è continua in \(I\) allora l'immagine \(f(I)\) è un intervallo di estremi \(\inf_I f\) ed \(\sup_I f\).

che pure è una conseguenza del Teorema degli Zeri.

"CaMpIoN":Su wikipedia dice che se $f$ è strettamente monotòna in $[a,b]$ allora l'enunciato si modifica nel seguente modo:
Data una funzione $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ strettamente monotòna e continua, se $f(a) \cdot f(b)<0$ allora esiste, ed è unico, un $x_0 \in [a,b]$ tale che $f(x_0)=0$.

Vabbé e questo è evidente... Ma si tratta di una specializzazione del Teorema degli Zeri (in cui la stretta monotònia assicura l'unicità), non del Teorema di Bolzano.
Nota, però, che la stretta monotònia ha conseguenze anche sull'enunciato del "vero" Teorema di Bolzano, il quale diventa:

Siano \(I\) un intervallo ed \(f:I\to \mathbb{R}\).
Se \(f\) è continua in \(I\), allora la \(f\) assume un'unica volta ogni valore compreso tra i suoi estremi inferiore e superiore.

"CaMpIoN":L'inverso dovrebbe essere quindi:
Data una funzione $f: [a,b] \to \mathbb{R}$, se esiste unico un $x_0 \in [a,b]$ tale che $f(x_0)=0$ allora la funzione è strettamente monotòna e continua in $[a,b]$.
Non capisco cosa implica il tuo teorema enunciato.

Alla luce del "vero" Teorema di Bolzano, si capisce che quanto scrivi non c'entra nulla con quello che intendevo io.

L'enunciato inverso a quello del "vero" Teorema di Bolzano sarebbe il seguente:

Siano \(I\) un intervallo ed \(f:I\to \mathbb{R}\).
Se \(f(I)\) è un intervallo, allora \(f\) è continua in \(I\).

Tuttavia, questo enunciato ha una grave pecca: in generale è falso... In altre parole, dal fatto che l'immagine \(f(I)\) sia un intervallo non è possibile dedurre la continuità della funzione \(f\).
Per lumeggiare tale circostanza, basta osservare attentamente il seguente diagramma:
[asvg]xmin=0; xmax=2; ymin=0; ymax=2;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
line([0,0],[1,1]); line([1,2],[2,1]); dot([0,0]); dot([1,2]); dot([2,1]);[/asvg]
che rappresenta il grafico di una funzione \(f\) definita in \([0,2]\), che ha immagine \(f([0,2])=[0,2]\) e che non è affatto continua in \([0,2]\) (ha una discontinuità "a salto" in \(1\)).
Quindi, in generale, il Teorema di Bolzano non si inverte.

Però, restringendo un po' la classe delle funzioni su cui si lavora, è possibile dimostrare che un inverso "parziale" è effettivamente valido.
In particolare, si vede che, aggiungendo all'ipotesi "\(f(I)\) è un intervallo" l'ulteriore ipotesi "\(f\) è monotòna", l'enunciato inverso è vero: si ottiene così l'Inverso del Teorema di Bolzano per le funzioni monotone, cioé:

Siano \(I\) un intervallo ed \(f:I\to \mathbb{R}\).
Se \(f(I)\) è un intervallo e se \(f\) è monotòna in \(I\), allora \(f\) è continua in \(I\).

cui mi riferivo nel post precedente.

[CaMpIoN]

Sia su wikipedia che sul mio libro il teorema di Bolzano e il teorema degli zeri sono la stessa cosa, diversi dal teorema dei valori intermedi.

[gugo82]

"CaMpIoN":Sia su wikipedia che sul mio libro il teorema di Bolzano e il teorema degli zeri sono la stessa cosa, diversi dal teorema dei valori intermedi.

E io che cosa posso farci?

[CaMpIoN]

Se tu dici l'inverso del teorema di Bolzano, allora io capisco l'inverso del teorema degli zeri, non del'inverso del teorema dei valori intermedi.