Due successioni

[Piera4]

1) Si calcoli, se esiste, il limite della successione $a_n=sqrtn-[sqrtn]$.
In caso di risposta negativa si determini il massimo e il minimo limite di $a_n$.

2) Calcolare $lim_(n->+infty)n(1-int_0^(+infty)e^(-x^n)dx)$.

[Sk_Anonymous]

"Piera":1) Si calcoli, se esiste, il limite della successione $a_n=sqrtn-[sqrtn]$.
In caso di risposta negativa si determini il massimo e il minimo limite di $a_n$.

Facile: vale $0 \le a_n = {\sqrt{n}} < 1$, dove ${\cdot}$ denota la parte frazionaria del suo argomento. Senonché $b_n := a_{n^2} = 0$ e $c_n := a_{n^2+2n} = \sqrt{n^2 + 2n} - n$, per ogni $n \in N$. Ne risulta $0 = \lim_{n \to \infty} b_n$ minli$m_{n \to \infty} a_n <$ maxli$m_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} c_n = 1$.

[Piera4]

Sul secondo limite voglio dare il risultato.
Il risultato è la costante di Eulero-Mascheroni.

[Sk_Anonymous]

"Piera":
2) Calcolare $lim_(n->+infty)n(1-int_0^(+infty)e^(-x^n)dx)$.

Sia $n$ un intero $\ge 1$. Vale $I_n := \int_0^{+\infty} e^{-x^n} dx = \frac{1}{n} \int_0^{+\infty} y^{(1-n)/n} e^{-y} dy = \Gamma(1/n)$, per via del cambio di variabili $x \to y^{1/n}$, dove $\Gamma(\cdot)$ è la funzione gamma di Eulero. Dunque $\lim_{n \to \infty} n\cdot (1 - I_n) = \lim_{n \to \infty} (n - \Gamma(1/n)) = \gamma$ (vedi F. Le Lionnais, Les nombres remarquables - Paris: Hermann, p. 28, 1983), essendo $\gamma = \lim_{n \to \infty} (\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln n)$ la costante di Eulero-Mascheroni.

[Piera4]

La mia soluzione, sperando sia giusta, è qui
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=123854

[Sk_Anonymous]

Sì, che è corretta, Piera (aka Spasty?). Come la mia usa per noto che $\gamma = \lim_{x \to +\infty} (x - \Gamma(1/x))$, così la tua parte dall'assunzione che $\gamma = -\Gamma'(1)$ (vedi E. T. Whittaker e G. N. Watson, A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge - England: Cambridge University Press, p. 246, 1990).

[Piera4]

Visto che una volta sono andato in biblioteca per consultare il libro che hai menzionato, però era stato rubato, ti posso chiedere se è un libro che vale la pena di acquistare? Mi è stato detto che è ricco di esempi e di esercizi.

[Sk_Anonymous]

E' un ottimo libro, dico che ne vale la pena.

[Piera4]

Ok, grazie

Ne approfitto per fare a tutti gli utenti del forum gli auguri di buon fine anno, ci risentiamo nel 2007!