Due serie numeriche
[tex]\sum_{n=1}^{+\infty}n^{-2^{n}}[/tex]
Ho applicato il corollario al criterio della radice e ho come limite:
[tex]n^{-\frac{2^n}{n}}[/tex]
Avrei una forma indeterminata,ho pensato che [tex]-\frac{2^n}{n}\leq-2[/tex]
Quindi dovrei avere n elevato ad un esponente sempre negativo, e il limite dovrebbe fare 0, quindi la serie converge.
[tex]\sum_{n=1}^{+\infty}2^n\sin^2(\frac{n\pi}{2})[/tex]
Ho pensato che il seno sarà periodico, siccome è sen quadrato dovrei avere come termini o 0 oppure 1, per n dispari sarà sempre 1 mentre per n pari sarà 0.
Allora per n dispari la serie non verifica la condizione necessaria alla convergenza dunque diverge, per n pari la serie sarà 0 dunque converge.
Ci sono errori?
Ho applicato il corollario al criterio della radice e ho come limite:
[tex]n^{-\frac{2^n}{n}}[/tex]
Avrei una forma indeterminata,ho pensato che [tex]-\frac{2^n}{n}\leq-2[/tex]
Quindi dovrei avere n elevato ad un esponente sempre negativo, e il limite dovrebbe fare 0, quindi la serie converge.
[tex]\sum_{n=1}^{+\infty}2^n\sin^2(\frac{n\pi}{2})[/tex]
Ho pensato che il seno sarà periodico, siccome è sen quadrato dovrei avere come termini o 0 oppure 1, per n dispari sarà sempre 1 mentre per n pari sarà 0.
Allora per n dispari la serie non verifica la condizione necessaria alla convergenza dunque diverge, per n pari la serie sarà 0 dunque converge.
Ci sono errori?
Risposte
Beh, il fatto che l'esponente sia negativo non significa che in modulo tenda a infinito, a parte questo la conclusione mi sembra corretta.
[edit] ho fatto una considerazione errata, non tenerne conto. Hai ragione, basta che sia negativo, purchè non converga a zero molto velocemente, ma non è questo il caso.
Per il secondo esercizio, non hai concluso esplicitamente, la serie converge o diverge? ti domanderebbe il Prof.
Comunque le tue considerazioni sono corrette, ma la serie diverge, perchè la potenza di $2$ cresce all'aumentare di $n$, e non c'è verso che i termini della serie convergano a zero = (C.N.)
[edit] ho fatto una considerazione errata, non tenerne conto. Hai ragione, basta che sia negativo, purchè non converga a zero molto velocemente, ma non è questo il caso.
Per il secondo esercizio, non hai concluso esplicitamente, la serie converge o diverge? ti domanderebbe il Prof.
Comunque le tue considerazioni sono corrette, ma la serie diverge, perchè la potenza di $2$ cresce all'aumentare di $n$, e non c'è verso che i termini della serie convergano a zero = (C.N.)
Sulla seconda serie, non ho ben capito.
Tu dici che diverge sempre..perchè?
CI saranno valori per cui il seno sarà 1 e allora avrò [tex]2^n*1[/tex] e la serie sarà divergente, e ho scritto che accade quando n è dispari.
Per n pari il seno vale 0 e dovrei avere [tex]2^n*0[/tex] che fa 0.
Dunque la serie dovrebbe convergere in un caso e divergere in un altro, perchè diverge sempre?
Al di là di quanto cresca n se moltiplica 0 farà 0, dunque converge...perchè il prodotto da 0 e la serie diventa 0.
Non capisco perchè dovrebbe divergere sempre.
Tu dici che diverge sempre..perchè?
CI saranno valori per cui il seno sarà 1 e allora avrò [tex]2^n*1[/tex] e la serie sarà divergente, e ho scritto che accade quando n è dispari.
Per n pari il seno vale 0 e dovrei avere [tex]2^n*0[/tex] che fa 0.
Dunque la serie dovrebbe convergere in un caso e divergere in un altro, perchè diverge sempre?
Al di là di quanto cresca n se moltiplica 0 farà 0, dunque converge...perchè il prodotto da 0 e la serie diventa 0.
Non capisco perchè dovrebbe divergere sempre.
Aspetta non ho detto che il tuo ragionamento non è corretto, è come dici tu, ma la somma parziale non distingue il caso $n$ pari dal caso $n$ dispari, li somma tutti, e alla fine o converge o diverge. Qua la successione dei termini della serie non converge a zero, e già questo basta per dire che non converge(qualcuno direbbe diverge, altri riservano questo termine solo al caso in cui la somma è $+-oo$), inoltre hai termini tutti positivi, quindi la somma parziale è una successine monotona crescente ma non lmitata superiormente, quindi diverge a $+oo$.
Mh...allora considerando che ci sono valori per cui la serie non verifica la condizione necessaria posso dire che diverge positivamente in definitiva.
Ecco ad un testo d'esame dopo le mie considerazioni come l'avresti scritta la risposta?
Ecco ad un testo d'esame dopo le mie considerazioni come l'avresti scritta la risposta?
Se consideri la serie a segno alterno i cui termini sono questi $a_n = (-1)^n * 1/n$, le serie dedotte da questa considerando solo gli $n$ pari o solo gli $n$ dispari, divergono entrambe, una a $+oo$ e l'altra a $-oo$, ma la serie converge.
Sempre rimanendo al caso $n$ pari e $n$ dispari, è chiaro che se una converge e l'altra diverge la somma parziale complessiva diverge, perchè la somma parziale dei termini dispari, ad esempio, per rimanere al caso da te proposto, è limitata, quindi la serie assume il carattere dell'altra, che diverge, e diverge dove essa diverge.
Ciao
[edit] Se hai che una sottosuccessione della successione dei termini della serie non converge a zero, la serie non può convergere ovviamente, alcuni esprimono questo fatto dicendo che la serie diverge, altri dicono semplicemente che non converge, riservando al termine diverge il fatto che la somma è $+oo$ o $-oo$, e chiamando determinate le serie per cui la somma è finita o infinita, e indeterminate le altre.
Insomma dipende cosa intendi per diverge, se intendi che la somma è infinita questo non è vero, posso fornirti un esempio banale, prendi una serie i cui termini sono:
$a_n = {1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, .....}$
Qui trovi tutti i casi messi assieme a secondo di come prendi i termini, hai una serie la cui somma é $+oo$, una in cui è $0$ un'altra in cui è $-oo$, invece la somma parziale complessiva, diciamo così, non va da nessuna parte, non converge ne' diverge.
Sempre rimanendo al caso $n$ pari e $n$ dispari, è chiaro che se una converge e l'altra diverge la somma parziale complessiva diverge, perchè la somma parziale dei termini dispari, ad esempio, per rimanere al caso da te proposto, è limitata, quindi la serie assume il carattere dell'altra, che diverge, e diverge dove essa diverge.
Ciao
[edit] Se hai che una sottosuccessione della successione dei termini della serie non converge a zero, la serie non può convergere ovviamente, alcuni esprimono questo fatto dicendo che la serie diverge, altri dicono semplicemente che non converge, riservando al termine diverge il fatto che la somma è $+oo$ o $-oo$, e chiamando determinate le serie per cui la somma è finita o infinita, e indeterminate le altre.
Insomma dipende cosa intendi per diverge, se intendi che la somma è infinita questo non è vero, posso fornirti un esempio banale, prendi una serie i cui termini sono:
$a_n = {1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, .....}$
Qui trovi tutti i casi messi assieme a secondo di come prendi i termini, hai una serie la cui somma é $+oo$, una in cui è $0$ un'altra in cui è $-oo$, invece la somma parziale complessiva, diciamo così, non va da nessuna parte, non converge ne' diverge.
Ma allora....in teoria visto che ci sono casi in cui vale 0 e in cui diverge, non dovrebbe essere oscillante?
"Darèios89":
Ma allora....in teoria visto che ci sono casi in cui vale 0 e in cui diverge, non dovrebbe essere oscillante?
Se vuoi chiamala oscillante. Comunemente si direbbe che non converge.
Ciao
Uhm... in genere si dice oscillante una serie che non converge e non diverge. Visto che la tua diverge non è oscillante.
P.S. Le serie a termini positivi non possono essere oscillanti.
P.S. Le serie a termini positivi non possono essere oscillanti.
Non erano le serie a termini non negativi a non potere essere oscillanti? Come questa?
Allora divergerà positivamente.
Allora divergerà positivamente.
Non mi pare ci sia tanta differenza tra una serie "a termini positivi" e una "a termini non negativi"... Al massimo la seconda può avere qualche addendo uguale a $0$. Cosa cambia? Mi permetto di rinnovarti l'invito a riflettere da solo un po' di più prima di postare. E' nel tuo interesse: se ti abitui a chiedere conferma di ogni fesseria, all'esame rischi seriamente di avere brutte sorprese.
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