Due serie numeriche
Il problema è questo: studiare l'eventuale convergenza delle seguenti serie: $\sum_{n=1}^infty sin(n^2)/n$ e $\sum_{n=1}^infty sin(sqrt(n))/n$.
Io penso che convergano entrambe, la prima perché sospetto che la successione $\sum_{k=1}^n sin(k^2)$ sia limitata e per la seconda credo sia limitata $\sum_{k=1}^n sin(sqrt(k))/sqrt(k)$.
Si potrebbero considerare anche come casi particolari della serie di funzioni $\sum_{n=1}^infty sin(n^x)/n$ per $x=2$ e $x=1/2$, riguardo a questa serie di funzioni la convergenza puntuale per $x<0$ è banale, per $x=0$ diverge, il problema è per $x>0$, secondo me però converge $AAx>0$ per motivi analoghi ai precedenti, il problema è dimostrarlo.
P.S. per $x=1$ so che converge.
Io penso che convergano entrambe, la prima perché sospetto che la successione $\sum_{k=1}^n sin(k^2)$ sia limitata e per la seconda credo sia limitata $\sum_{k=1}^n sin(sqrt(k))/sqrt(k)$.
Si potrebbero considerare anche come casi particolari della serie di funzioni $\sum_{n=1}^infty sin(n^x)/n$ per $x=2$ e $x=1/2$, riguardo a questa serie di funzioni la convergenza puntuale per $x<0$ è banale, per $x=0$ diverge, il problema è per $x>0$, secondo me però converge $AAx>0$ per motivi analoghi ai precedenti, il problema è dimostrarlo.
P.S. per $x=1$ so che converge.
Risposte
Wow sei andato a ripescare un post vecchio di due mesi! Grazie!
Comunque alle tue stesse conclusioni (quelle nell'elenco) ero arrivato anche io, non è tanto difficile, però il grafico non lo avevo fatto, es è molto bellino!
WHAT?!?!? Addirittura Terence Tao!?!? Caspita, non me l'aspettavo, e tra l'altro avevo il sospetto che invece fosse limitata, però almeno avevo azzeccato che quella serie converge.
Sulla seconda sai dirmi qualcosa?
Comunque alle tue stesse conclusioni (quelle nell'elenco) ero arrivato anche io, non è tanto difficile, però il grafico non lo avevo fatto, es è molto bellino!
"TeM":
nel caso particolare \(a = 2 \, \land \, b = 1\) (sopra esplicitamente richiesto), seppur \(\begin{aligned}\sum_{n = 1}^m\end{aligned} \sin\left(n^2\right)\) non sia una successione numerica limitata, qui lo ha dimostrato nientemeno che Terry Tao) e quindi non si possa applicare il criterio di Abel-Dirichlet, Jacopo D’Aurizio ha dimostrato convergere nella propria tesi di laurea specialistica; vedasi qui a pagina 11.
WHAT?!?!? Addirittura Terence Tao!?!? Caspita, non me l'aspettavo, e tra l'altro avevo il sospetto che invece fosse limitata, però almeno avevo azzeccato che quella serie converge.
Sulla seconda sai dirmi qualcosa?
Ma secondo te le regioni rosse sono problemi aperti, o qualcuno li ha già risolti?
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