Due Serie
$sum_{n=1}^{oo} [sin(1/n) - sin(1/(n+1))]$
Questa non la so fare, speravo non convergesse ma i lim sono uguali a zero. Forse converge, ma come si deve ragionare?
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$sum_{n=1}^{oo} (1/(n(n+2)))$ Questa converge a $3/4$ ma ci sono arrivato sostituendo i numeri nella formula.
Poi mi sono accorto che é simile ad una serie notevole: $sum_{n=1}^{oo} (1/(n(n+1)))=1$
Mi chiedo se ci si può ricondurre a questa serie notevole (come si fa con gli integrali ed i limiti). E se si, come si fa? Ci ho provato ma non ci arrivo!
Questa non la so fare, speravo non convergesse ma i lim sono uguali a zero. Forse converge, ma come si deve ragionare?
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$sum_{n=1}^{oo} (1/(n(n+2)))$ Questa converge a $3/4$ ma ci sono arrivato sostituendo i numeri nella formula.
Poi mi sono accorto che é simile ad una serie notevole: $sum_{n=1}^{oo} (1/(n(n+1)))=1$
Mi chiedo se ci si può ricondurre a questa serie notevole (come si fa con gli integrali ed i limiti). E se si, come si fa? Ci ho provato ma non ci arrivo!
Risposte
"Giova411":
$sum_{n=1}^{oo} [sin(1/n) - sin(1/(n+1))]$
Dalle formule di prostaferesi: $0 < \sin(1/n) - \sin(\frac{1}{n+1}) = 2\cos(\frac{2n+1}{2n(n+1)}) \sin(\frac{1}{2n(n+1)) ~ \frac{1}{n(n+1)}$, per $n \to \infty$. Pertanto la serie converge, per via del criterio del confronto asintotico.
"Giova411":
$sum_{n=1}^{oo} (1/(n(n+2)))$ Questa converge a $3/4$ [...]
Telescopica di livello 2.
"DavidHilbert":
[quote="Giova411"]$sum_{n=1}^{oo} [sin(1/n) - sin(1/(n+1))]$
Dalle formule di prostaferesi: $0 < \sin(1/n) - \sin(\frac{1}{n+1}) = 2\cos(\frac{1}{2n(n+1)}) \sin(\frac{2n+1}{2n(n+1)) ~ \frac{1}{n}$, per $n \to \infty$. Pertanto la serie diverge, per via del criterio del confronto asintotico.[/quote]
Grazie!
Sul libro nelle soluzioni c'é scritto che converge a $sin 1$
"DavidHilbert":
[quote="Giova411"]
$sum_{n=1}^{oo} (1/(n(n+2)))$ Questa converge a $3/4$ [...]
Telescopica di livello 2.[/quote]
Non so cosa vuol dire. (Considera che ancora non ho fatto Taylor...)
"Giova":
Sul libro nelle soluzioni c'é scritto che converge a $sin 1$
Colpa mia, ho applicato male le formule di prostaferesi - edito!
EDIT: ehm... Ma è telescopica anche questa! Mi chiedo come abbia fatto a non vederlo prima...
"Giova411":
$sum_{n=1}^{oo} [sin(1/n) - sin(1/(n+1))]$
Questa non la so fare, speravo non convergesse ma i lim sono uguali a zero. Forse converge, ma come si deve ragionare?
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$sum_{n=1}^{oo} (1/(n(n+2)))$ Questa converge a $3/4$ ma ci sono arrivato sostituendo i numeri nella formula.
Poi mi sono accorto che é simile ad una serie notevole: $sum_{n=1}^{oo} (1/(n(n+1)))=1$
Mi chiedo se ci si può ricondurre a questa serie notevole (come si fa con gli integrali ed i limiti). E se si, come si fa? Ci ho provato ma non ci arrivo!
$sum_{n=1}^{N} [sin(1/n) - sin(1/(n+1))]=sin1-sin(1/2)+sin(1/2)-sin(1/3)+sin(1/3)-sin(1/4)+...+sin(1/(N-1))-sin(1/N)+sin(1/N)-sin(1/(N+1))$=
$sin1-sin(1/(N+1))$
Ora $lim_(N->+infty)[sin1-sin(1/(N+1))]=sin1$ per cui la serie converge a $sin1$
Ma che vuol dire telescopica? Il livello 2? GRAZIE!!!
"Giova411":
Ma che vuol dire telescopica? Il livello 2? GRAZIE!!!
ti ho fatto vedere che la prima serie converge a $sin1$ (vedi il post precedente).
Ora ti mostro l'altre serie
$1/(n(n+2))=1/2(1/n-1/(n+2))$ e consideriamo $1/n-1/(n+2)$, allora
$S_1=a_1=(1-1/3)$
$S_2=a_1+a_2=(1-1/3)+(1/2-1/4)=1+1/2-1/3-1/4$
$S_3=a_1+a_2+a_3= (1-1/3)+(1/2-1/4)+(1/3-1/5)=1+1/2-1/4-1/5$
.
.
.
.
$S_n=1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)$ ora
$lim_(n->+infty)S_n=1+1/2=3/2$ per cui la serie converge a $1/2*3/2=3/4$
Molte grazie!
La seconda l'ho fatta uguale a come l'hai fatta tu. E' che mi chiedevo se c'é un altro modo, meno macchinoso. Mi sono accorto che è simile ad una serie notevole che converge ad 1. Non ci si può condurre a quella? (Come si fa nella ricerca dei limiti e degli integrali)
La seconda l'ho fatta uguale a come l'hai fatta tu. E' che mi chiedevo se c'é un altro modo, meno macchinoso. Mi sono accorto che è simile ad una serie notevole che converge ad 1. Non ci si può condurre a quella? (Come si fa nella ricerca dei limiti e degli integrali)
"Giova411":
Molte grazie!
La seconda l'ho fatta uguale a come l'hai fatta tu. E' che mi chiedevo se c'é un altro modo, meno macchinoso. Mi sono accorto che è simile ad una serie notevole che converge ad 1. Non ci si può condurre a quella? (Come si fa nella ricerca dei limiti e degli integrali)
non ci si può ricondurre (almeno credo) alla serie $sum_{n=1}^{+infty}1/(n(n+1))=1$; ma comunque il modo di procedere non è macchinoso ma abbastanza intuitivo ed intelligente così come nella prima serie da te proposta.
"Giova411":
$sum_{n=1}^{oo} (1/(n(n+2)))$ Questa converge a $3/4$ ma ci sono arrivato sostituendo i numeri nella formula.
Poi mi sono accorto che é simile ad una serie notevole: $sum_{n=1}^{oo} (1/(n(n+1)))=1$
Mi chiedo se ci si può ricondurre a questa serie notevole (come si fa con gli integrali ed i limiti). E se si, come si fa? Ci ho provato ma non ci arrivo!
$sum_{n=1}^{oo} (1/(n(n+2)))$ è molto simile a serie di Mengoli: $sum_{n=1}^{oo} (1/(n(n+1)))=1$
Da questa somiglianza cosa ricavo? Posso avere delle informazioni? Da quella a SX posso ricondurmi a quella a DX e trovare la convergenza?
vedo che mi hai risposto nel mentre scrivevo...
SuperNico!
SuperNico!
"Giova411":
[quote="Giova411"]$sum_{n=1}^{oo} (1/(n(n+2)))$ Questa converge a $3/4$ ma ci sono arrivato sostituendo i numeri nella formula.
Poi mi sono accorto che é simile ad una serie notevole: $sum_{n=1}^{oo} (1/(n(n+1)))=1$
Mi chiedo se ci si può ricondurre a questa serie notevole (come si fa con gli integrali ed i limiti). E se si, come si fa? Ci ho provato ma non ci arrivo!
$sum_{n=1}^{oo} (1/(n(n+2)))$ è molto simile a serie di Mengoli: $sum_{n=1}^{oo} (1/(n(n+1)))=1$
Da questa somiglianza cosa ricavo? Posso avere delle informazioni? Da quella a SX posso ricondurmi a quella a DX e trovare la convergenza?[/quote]
per la convergenza basta usare il criterio del confronto.
infatti la serie proposta è a termini positivi e $AA n>=1 1/(n(n+2))<1/(n(n+1))$ per cui
$sum_{n=1}^{oo} (1/(n(n+2)))
Quindi ne traggo solo delle informazioni. Cmq utilissime. Mi dice che sicuro converge (così come la serie di riferimento di Mengoli) e poi mi dice anche quanto può essere all'incirca (cioé < oppure > di 1).
SuperNico se non hai, come minimo, il dottorato in Matematica allora vuol dire che devono dartelo ad Honoris Causa!
SuperNico se non hai, come minimo, il dottorato in Matematica allora vuol dire che devono dartelo ad Honoris Causa!
"Giova411":
Quindi ne traggo solo delle informazioni. Cmq utilissime. Mi dice che sicuro converge (così come la serie di riferimento di Mengoli) e poi mi dice anche quanto può essere all'incirca (cioé < oppure > di 1).
SuperNico se non hai, come minimo, il dottorato in Matematica allora vuol dire che devono dartelo ad Honoris Causa!
ricavi delle informazioni utilissime: in tal caso ricavi la convergenza e che la somma è certamente minore di 1.
sul dottorato in matematica non ce l'ho, e comunque non lo meriterei e non lo dico per modestia
Beh, un giorno spero di poter anch'io aiutare gli altri, in questo forum di matematica, proprio come fai tu o Luca!
Mi sto appassionando!
GRAZIE SUPERNICO!
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