Due risoluzioni per una successione di funzioni

[borto97]

Ciao a tutti, propongo due svolgimenti per lo studio della convergenza uniforme di una successione di funzioni, che è

$f_n (x) = nlog(1+ x/n)$ con $x\in [-1,1]$

Per studiare la convergenza puntuale basta fare il limite, trovando che $f_n (x) \to f (x) = x$

Per la convergenza uniforme
Svolgimento 1 Ho considerato la differenza $|f_n (x) - f (x) | = nlog(1+x/n)-x = g_n (x)$ e ne ho studiato la derivata, che risulta essere $g'_n(x) = \frac{-x}{x+n}$. Ora, $g'_n (x) = 0 \leftrightarrow x = 0$, quindi si ha il massimo in corrispondenza di $x= 0$. Si trova che $f_n (0) = 0$ quindi c'è convergenza uniforme in $x\in[-1,1]$


Svolgimento 2 Considero $g_n (x) = log(1+ x/n)^n$, che è definitivamente crescente $\forall n\in\mathbb{N}$ e converge a $e^x$. Ma allora anche $f_n (x)$ è crescente $\forall n\in\mathbb{N}$. Dato che le $f_n$ sono continue e convergono puntualmente ad una funzione continua su $[-1,1]$, allora c'è convergenza uniforme in $[-1,1]$

Che ne dite? Vanno bene entrambe?

[Studente Anonimo]

Veramente:

$|f_n(x)-f(x)|=x-nlog(1+x/n)$

[borto97]

Ops.. si scusa, avevo anche sbagliato a calcolare $f_n (0)$, dovevo calcolare $g_n (0)$. Ora mi correggo.

Dunque, essendo $g(n) = x - nlog(1+x/n)$ abbiamo che $g'_n (x) = \frac{x}{n+x}$. Chiaramente nel nostro intervallo ci sarà un massimo per $x = 1$ ed essendo

$g_n (1) = 1 - nlog(1+1/n) \to 0$

allora si avrà convergenza uniforme in $(-1,1)$

Grazie per avermi fatto notare l'errore