Due limiti (limiti notevoli)
Non riesco a risolvere il seguente limite:
$ lim_(x -> 0)\frac{(1+senx+sen^2x)^(1/x)-(1+senx)^(1/x)}{x} $
Ho provato più e più volte, ma alla fine mi vengono fuori altre forme indeterminate
Credo che ciò che mi dà più problemi sia quella x al denominatore.
Edit: onde evitare di creare un secondo topic, aggiungo un altro limite qui. Credo di averlo risolto, ma vorrei una conferma sul procedimento (o procedimenti alternativi!):
$ lim_(x -> 0)\frac{(1+senx+sen^2x)^(1/x)-(1+senx)^(1/x)}{x} $
Ho provato più e più volte, ma alla fine mi vengono fuori altre forme indeterminate
Credo che ciò che mi dà più problemi sia quella x al denominatore.
Edit: onde evitare di creare un secondo topic, aggiungo un altro limite qui. Credo di averlo risolto, ma vorrei una conferma sul procedimento (o procedimenti alternativi!):
Risposte
Ciao Alexandros543,
Per il primo limite proposto mi riservo di pensarci, mentre quello in spoiler è errato. Per correggerlo ti basta semplicemente razionalizzare al contrario l'argomento del seno. Il risultato è corretto, risulta $0 $.
Per il primo limite proposto mi riservo di pensarci, mentre quello in spoiler è errato. Per correggerlo ti basta semplicemente razionalizzare al contrario l'argomento del seno. Il risultato è corretto, risulta $0 $.
"pilloeffe":
Ciao Alexandros543,
Per il primo limite proposto mi riservo di pensarci, mentre quello in spoiler è errato. Per correggerlo ti basta semplicemente razionalizzare al contrario l'argomento del seno. Il risultato è corretto, risulta $0 $.
Perdonami, ma non capisco cosa intendi con "razionalizzare al contrario" (intendi all'inzio quando ho la differenza di seni?)
Edit: Ah, forse intendi nell'ultimo passaggio, quando dico che la funzione seno(...) tende a 1? Lì mi sono risparmiato la razionalizzazione perché è chiaro che l'argomento del seno è un'infinitesima (è la stessa infinitesima che uso per applicare il teorema del prodotto di un'infinitesima per una limitata)
Più che altro avevo dei dubbi sull'applicazione di questo teorema...
Intendo moltiplicare numeratore e denominatore della frazione argomento del seno per $\sqrt{n + 1} + \sqrt{n} $
Sì, così, giusto?
No, è molto più semplice:
$sin\frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{2} = sin\frac{1}{2(\sqrt{n + 1} + \sqrt{n})} \to 0 $ per $n \to +\infty $
Siccome poi la funzione coseno è una funzione limitata, se la si moltiplica per una il cui limite è $0 $ per $n \to +\infty $ ecco che si spiega perché il risultato del limite proposto è $0$.
$sin\frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{2} = sin\frac{1}{2(\sqrt{n + 1} + \sqrt{n})} \to 0 $ per $n \to +\infty $
Siccome poi la funzione coseno è una funzione limitata, se la si moltiplica per una il cui limite è $0 $ per $n \to +\infty $ ecco che si spiega perché il risultato del limite proposto è $0$.
Giusto, avrei dovuto razionalizzare subito 
Grazie mille!
P.S.: Ma il procedimento è giusto (anche se ho allungato moltiplicando e dividendo per l'argomento del seno) oppure ho compiuto qualche errore?
Grazie mille!P.S.: Ma il procedimento è giusto (anche se ho allungato moltiplicando e dividendo per l'argomento del seno) oppure ho compiuto qualche errore?
Il primo è abbastanza palloso... Mi sa che bisogna usare Taylor almeno al secondo/terzo ordine a manetta! 
@gugo82 
In realtà non è così brutto come credevo. Ti serve solo l’approssimazione del secondo ordine del logaritmo:
\[
\log (1+x) \approx x - \frac{1}{2} x^2\; ,
\]
ma senza di questa al momento non vedo come andare avanti.
*** EDIT: Comenon detto.
Hai provato a scrivere la funzione sotto limite come:
\[
(1 + \sin x)^{1/x}\ \frac{ \left( 1 + \frac{\sin^2 x}{1 + \sin x}\right)^{1/x} - 1}{x}\;?
\]
Tante volte...
\[
\log (1+x) \approx x - \frac{1}{2} x^2\; ,
\]
ma senza di questa al momento non vedo come andare avanti.
*** EDIT: Comenon detto.
Hai provato a scrivere la funzione sotto limite come:
\[
(1 + \sin x)^{1/x}\ \frac{ \left( 1 + \frac{\sin^2 x}{1 + \sin x}\right)^{1/x} - 1}{x}\;?
\]
Tante volte...
Sì, però a causa di quella $x$ mi trovavo una forma indeterminata del tipo $\frac{0}{0}$
Almeno ora so che questa è la strada giusta
Però ora è un po' tardi, ci penserò domani! Grazie mille! 
P.S.: In realtà noto una certa somiglianza col limite notevole $lim_(x->0) \frac{(1+x)^p-1}{x}=p$ ma in questo caso p dipende da x: $p=1/x$... posso applicarlo lo stesso?
Almeno ora so che questa è la strada giusta
Però ora è un po' tardi, ci penserò domani! Grazie mille! P.S.: In realtà noto una certa somiglianza col limite notevole $lim_(x->0) \frac{(1+x)^p-1}{x}=p$ ma in questo caso p dipende da x: $p=1/x$... posso applicarlo lo stesso?
Riguardo al P.S., no.
Il limite notevolissimo che potresti pensare di usare è quello di Nepero:
\[
\lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e\; ,
\]
ma nel caso in esame non ti serve.
Prova a scrivere quella roba complicata lì come $e^(1/x log( 1 + (sin^2 x)/(1+ sin x)))$ ed ad approssimare coi limiti notevoli al primo ordine utile.
Il limite notevolissimo che potresti pensare di usare è quello di Nepero:
\[
\lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e\; ,
\]
ma nel caso in esame non ti serve.
Prova a scrivere quella roba complicata lì come $e^(1/x log( 1 + (sin^2 x)/(1+ sin x)))$ ed ad approssimare coi limiti notevoli al primo ordine utile.
Alla fine ho risolto la forma indeterminata utilizzando il limite notevole dell'esponenziale. Grazie!
$lim_{x\rightarrow0}[(1 + sin x)^{1/x}\frac{ ( 1 + \frac{sin^2 x}{1 + sin x})^{1/x} - 1}{x}]$
$lim_{x\rightarrow0}[(1 + sin x)^{1/x}*\frac{ e^(\frac{1}{x}log(1+\frac{sin^2 x}{1 + sin x})) - 1}{\frac{1}{x}log(1+\frac{sin^2 x}{1 + sin x})}*\frac{1}{x}log(1+\frac{sin^2 x}{1 + sin x})*\frac{1}{x}]$
$(...)$
Comunque volevo usare quel limite per sostiuirlo con $\frac{1}{x}$ cioè quello che ho chiamato $p$, e credo che il risultato sia proprio $e$ (non ho proseguito perché è un errore, immagino sia un caso che venga il risultato esatto)
$lim_{x\rightarrow0}[(1 + sin x)^{1/x}\frac{ ( 1 + \frac{sin^2 x}{1 + sin x})^{1/x} - 1}{x}]$
$lim_{x\rightarrow0}[(1 + sin x)^{1/x}*\frac{ e^(\frac{1}{x}log(1+\frac{sin^2 x}{1 + sin x})) - 1}{\frac{1}{x}log(1+\frac{sin^2 x}{1 + sin x})}*\frac{1}{x}log(1+\frac{sin^2 x}{1 + sin x})*\frac{1}{x}]$
$(...)$
Comunque volevo usare quel limite per sostiuirlo con $\frac{1}{x}$ cioè quello che ho chiamato $p$, e credo che il risultato sia proprio $e$ (non ho proseguito perché è un errore, immagino sia un caso che venga il risultato esatto)
C'è qualche imprecisione, si ha:
$\lim_{x \to 0} \frac{(1 + \sin x + \sin^2 x)^{1/x} - (1 + \sin x)^{1/x}}{x} = \lim_{x \to 0} (1 + \sin x)^{1/x} \frac{(1 + \frac{\sin^2 x}{1 + \sin x})^{1/x} - 1}{x} = $
$ = \lim_{x \to 0} e^{1/x ln(1 + sin x)} \frac{e^{1/x ln(1 + \frac{\sin^2 x}{1 + \sin x})} - 1}{x} = $
$ = \lim_{x \to 0} e^{\frac{ln(1 + sin x)}{sin x} \cdot \frac{sin x}{x}} \frac{e^{1/x ln(1 + \frac{\sin^2 x}{1 + \sin x})} - 1}{1/x ln(1 + \frac{\sin^2 x}{1 + \sin x})} \cdot \frac{ln(1 + \frac{\sin^2 x}{1 + \sin x})}{\frac{\sin^2 x}{1 + \sin x}} \cdot \frac{\sin^2 x}{x^2(1 + \sin x)} = e $
$\lim_{x \to 0} \frac{(1 + \sin x + \sin^2 x)^{1/x} - (1 + \sin x)^{1/x}}{x} = \lim_{x \to 0} (1 + \sin x)^{1/x} \frac{(1 + \frac{\sin^2 x}{1 + \sin x})^{1/x} - 1}{x} = $
$ = \lim_{x \to 0} e^{1/x ln(1 + sin x)} \frac{e^{1/x ln(1 + \frac{\sin^2 x}{1 + \sin x})} - 1}{x} = $
$ = \lim_{x \to 0} e^{\frac{ln(1 + sin x)}{sin x} \cdot \frac{sin x}{x}} \frac{e^{1/x ln(1 + \frac{\sin^2 x}{1 + \sin x})} - 1}{1/x ln(1 + \frac{\sin^2 x}{1 + \sin x})} \cdot \frac{ln(1 + \frac{\sin^2 x}{1 + \sin x})}{\frac{\sin^2 x}{1 + \sin x}} \cdot \frac{\sin^2 x}{x^2(1 + \sin x)} = e $
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