Due limiti di successione
Salve, trovo delle difficoltà nello svolgere due limiti di successione, ieri stavo con un mio amico e c'abbiamo perso tutto il pomeriggio senza venirne a capo. Senza che vi mostro tutto il limite, vi dico che non siamo riusciti a capire perchè \(\displaystyle n!7^{n!}\) va più velocemente ad infinito di \(\displaystyle -5^{(n+1)!} \)
oppure, molto analogo \(\displaystyle n!7^{n(n+1)} \) è meno veloce di \(\displaystyle 4^{(n+1)!} \), scusate il disturbo
oppure, molto analogo \(\displaystyle n!7^{n(n+1)} \) è meno veloce di \(\displaystyle 4^{(n+1)!} \), scusate il disturbo
Risposte
hai provato a usare il criterio del rapporto?
$lim_(n ->+oo) a_(n+1)/a_n$
$lim_(n ->+oo) a_(n+1)/a_n$
c'ho provato però nel primo caso per esempio mi viene:
\(\displaystyle \frac{5^{(n+1)(n+1)n!}}{(n+1)7^{nn!}} \) a me sembra vada più velocemente il numeratore..ora non so se il meno, che non ho calcolato, conti qualcosa..
grazie in anticipo
\(\displaystyle \frac{5^{(n+1)(n+1)n!}}{(n+1)7^{nn!}} \) a me sembra vada più velocemente il numeratore..ora non so se il meno, che non ho calcolato, conti qualcosa..
grazie in anticipo
Si ha:
\[
n!\ 7^{n!} = n!\ 5^{n!\ \log_5 7}
\]
quindi:
\[
\lim_n \frac{n!\ 7^{n!}}{5^{(n+1)!}} = \lim_n \frac{n!\ 5^{n!\ \log_5 7}}{5^{(n+1)\ n!}} = \lim_n n!\ 5^{n!\ (\log_5 7-1-n)}
\]
e da qui concludi subito che il limite del rapporto tende a zero, sicché \(5^{(n+1)!}\) è un infinito d'ordine superiore a \(n!\ 7^{n!}\).
\[
n!\ 7^{n!} = n!\ 5^{n!\ \log_5 7}
\]
quindi:
\[
\lim_n \frac{n!\ 7^{n!}}{5^{(n+1)!}} = \lim_n \frac{n!\ 5^{n!\ \log_5 7}}{5^{(n+1)\ n!}} = \lim_n n!\ 5^{n!\ (\log_5 7-1-n)}
\]
e da qui concludi subito che il limite del rapporto tende a zero, sicché \(5^{(n+1)!}\) è un infinito d'ordine superiore a \(n!\ 7^{n!}\).
gugo grazie per la risposta, ma il libro dice che è di ordine inferiore.. 
I calcoli sono corretti (cfr. anche: http://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+n!+7^%28n!%29%2F5^%28%28n%2B1%29!%29+as+n+to+oo), quindi sbaglia il libro.
Prova a postare tutto il testo dell'esercizio, anziché solo la parte finale.
Prova a postare tutto il testo dell'esercizio, anziché solo la parte finale.
Calcolando il rapporto:
$(n! 7^(n!))/(5^((n+1)!)) = 1/5 (n!)/(5^n) (7/5)^(n!)$
da cui mi sembra che abbia ragione il libro.
$(n! 7^(n!))/(5^((n+1)!)) = 1/5 (n!)/(5^n) (7/5)^(n!)$
da cui mi sembra che abbia ragione il libro.
No, rob... Il tuo denominatore è uguale a \(5\ 5^n\ 5^{n!} = 5^{n+1+n!}\neq 5^{(n+1)\ n!}=5^{(n+1)!}\).
Sì, ho visto.
\(\displaystyle \frac{n!7^{n!}-5^{(n+1)!}}{((n+1)!)^2+32^{n^2}+1} \)
mi potreste dire anche come fare a vedere che \(\displaystyle 32^{n^2} \) è più veloce di \(\displaystyle ((n+1)!)^2 \)
Grazie
mi potreste dire anche come fare a vedere che \(\displaystyle 32^{n^2} \) è più veloce di \(\displaystyle ((n+1)!)^2 \)
Grazie
Tu come hai provato?
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