DUE LIMITI

[giulio013]

Non ho idea di come fare questi due limiti; non posso nemmeno applicare de hopital:

1- $ lim_(x-> +oo) (1/xlogx +sqrt(x-2) - sqrt(x+3))/(sin^(2)(1/x)+ sqrt(x+1)-sqrt(x-5) $


2- $ lim_(x->+oo) (x^(2)log((x^2+1)/(x^2-2)) $

[gugo82]

Nel primo, prova a valutare l'ordine di infinitesimo dei vari addendi.
Nel secondo, sfrutta i limiti notevoli.

[giulio013]

nel primo raccolgo radice di x? Nel secondo non potrei applicare i notevoli visto che l'argomento del logaritmo è diverso da 1, no?

[gugo82]

Invece di continuare a domandare, prova a fare.

[giulio013]

Ho provato a fare come dici tu, ovvero raccogliere gli ordini infinitesimali, e mi rimane questo:

$ lim_(x-> +oo) (sqrt(x-2) - sqrt(x-3))/(sqrt(x+1) - sqrt(x-5)) $

da qui non posso procedere né per asintoti obliqui né limiti notevoli. Come dovrei fare? dovrebe venirmi 1/6

[pilloeffe]

Ciao giulio0,

Per il primo limite proposto farei così:

$ lim_{x \to +infty} (logx/x +sqrt(x-2) - sqrt(x+3))/(sin^2(1/x)+ sqrt(x+1)-sqrt(x-5)) = lim_{x \to +infty} (sqrt{x}(logx/(x sqrt{x}) + sqrt(1-2/x) - sqrt(1+3/x)))/(sqrt{x}(sin^2(1/x)/sqrt{x} + sqrt(1+1/x) - sqrt(1-5/x))) = $
$ = lim_{x \to +infty} (logx/(x sqrt{x}) + sqrt(1-2/x) - 1 - (sqrt(1+3/x) - 1))/(sin^2(1/x)/sqrt{x} + sqrt(1+1/x) - 1 - (sqrt(1-5/x) - 1)) = $
$ = lim_{x \to +infty} (logx/(sqrt{x}) - 2 frac{sqrt(1-2/x) - 1}{-2/x} - 3 frac{sqrt(1+3/x) - 1}{3/x})/(frac{sin^2(1/x)}{1/sqrt{x}} + frac{sqrt(1+1/x) - 1}{1/x} + 5 frac{sqrt(1-5/x) - 1}{-5/x}) = frac{0 - 2 \cdot 1/2 - 3 \cdot 1/2}{0 + 1/2 + 5 \cdot 1/2} = - 5/6 $

Il secondo limite proposto invece è più semplice:

$ lim_{x \to +infty} x^2 log((x^2+1)/(x^2-2)) = lim_{x \to +infty} x^2 log((1+1/x^2)/(1-2/x^2)) = lim_{x \to +infty} x^2 [log(1+1/x^2) - log(1-2/x^2)] = $
$ = lim_{x \to +infty} x^2 log(1+1/x^2) - x^2 log(1-2/x^2) = lim_{x \to +infty} frac{log(1+1/x^2)}{1/x^2} + 2 frac{log(1-2/x^2)} {-2/x^2} = 1 + 2 = 3 $