Due integrali (doppio e triplo)
Ciao, amici! Ho cercato di calcolare due integrali multipli ottenendo risultati discordanti da quelli che mi dà il libro come soluzioni, ma, se (e solo se) le mie premesse sono giuste, Wolphram Alpha (http://www.wolframalpha.com/input/?i=Multiple+integrals) sembra essere d'accordo con me, quindi mi permetto di disturbare chi vorrà e potrà dare un'occhiata alle premesse che ho posto chiedendo se vi sembrano corrette... Scrivo direttamente il risultato per non appesantire la pagina; d'altra parte, se le premesse fossero giuste, i miei risultati, secondo Wolfram Alpha, sarebbero corretti.
1) $\int\int_D x^2y^2 dxdy$ dove $D={(x,y): x+y>=0,x^2+y^2<=R^2}$
Qui mi pare che D sia il semicerchio di raggio R e centro nell'origine ottenuto secando la circonferenza di tale raggio con la retta y=-x con $-\pi/4<=\phi<=3/4\pi$ (chiamo qui, come in seguito,$\phi$ l'angolo del raggio rispetto all'asse delle x), per cui, usando coordinate polari, calcolerei che
$\int\int_D x^2y^2 dxdy=\int_{-\pi/4}^{(3\pi)/4} (\int_{0}^{R} r^5cos^2\phisin^2\phi dr)d\phi=(\piR^6)/48$ mentre il libro dà $(\piR^6)/24$.
2) $\int\int\int_V e^(-2z) dxdydz$ dove $V={(x,y,z): x>=0, y>=0, 0<=z<=2, x+y<=1}$
Qua direi che V è il prisma delimitato dai piani x=0, y=0, z=0, z=2 e y=1-x, quindi
$\int\int\int_V e^(-2z) dxdydz = \int_{0}^{1}(\int_{0}^{1-x}(\int_{0}^{2} e^(-2z) dz)dy)dx = 1/4-1/4e^(-4)$ mentre il libro dà $1/2(1-e^(-4))$.
Che cosa ne dite?
Grazie di cuore a tutti!!!
Davide
1) $\int\int_D x^2y^2 dxdy$ dove $D={(x,y): x+y>=0,x^2+y^2<=R^2}$
Qui mi pare che D sia il semicerchio di raggio R e centro nell'origine ottenuto secando la circonferenza di tale raggio con la retta y=-x con $-\pi/4<=\phi<=3/4\pi$ (chiamo qui, come in seguito,$\phi$ l'angolo del raggio rispetto all'asse delle x), per cui, usando coordinate polari, calcolerei che
$\int\int_D x^2y^2 dxdy=\int_{-\pi/4}^{(3\pi)/4} (\int_{0}^{R} r^5cos^2\phisin^2\phi dr)d\phi=(\piR^6)/48$ mentre il libro dà $(\piR^6)/24$.
2) $\int\int\int_V e^(-2z) dxdydz$ dove $V={(x,y,z): x>=0, y>=0, 0<=z<=2, x+y<=1}$
Qua direi che V è il prisma delimitato dai piani x=0, y=0, z=0, z=2 e y=1-x, quindi
$\int\int\int_V e^(-2z) dxdydz = \int_{0}^{1}(\int_{0}^{1-x}(\int_{0}^{2} e^(-2z) dz)dy)dx = 1/4-1/4e^(-4)$ mentre il libro dà $1/2(1-e^(-4))$.
Che cosa ne dite?
Grazie di cuore a tutti!!!
Davide
Risposte
Sono entrambi giusti quelli del libro...
Ehm....a me vengono i tuoi...
Ciao, amici! Grazie ad entrambi per il contributo! Non riesco a capire dove sbaglio...
Ciao e grazie di cuore ancora!
P.S.: Alle Fabbri, bella quella dell'orso polare...
Ciao e grazie di cuore ancora!
P.S.: Alle Fabbri, bella quella dell'orso polare...
Ad esempio il primo:
$\int\int_D x^2y^2 dxdy=\int_{-\pi/4}^{(3\pi)/4} (\int_{0}^{R} r^5cos^2\phisin^2\phi dr)d\phi=R^6/6int_{-\pi/4}^{(3\pi)/4}1/4sin^2(2phi)dphi=R^6/6int_{-\pi/4}^{(3\pi)/4}(1-cos4phi)/8 dphi = R^6/6(\pi/8) = R^6pi/48$
$\int\int_D x^2y^2 dxdy=\int_{-\pi/4}^{(3\pi)/4} (\int_{0}^{R} r^5cos^2\phisin^2\phi dr)d\phi=R^6/6int_{-\pi/4}^{(3\pi)/4}1/4sin^2(2phi)dphi=R^6/6int_{-\pi/4}^{(3\pi)/4}(1-cos4phi)/8 dphi = R^6/6(\pi/8) = R^6pi/48$
Ah cavolo mi sono appena accorto che in testa avevo scambiato quelli del libro con i tuoi: allora sì sono giusti i tuoi 
scusa, l'alzheimer... 
scusa, l'alzheimer...
@Davide
eheh...grazie...l'ho trovata su internet e anche io la trovo esilarante!!!
eheh...grazie...l'ho trovata su internet e anche io la trovo esilarante!!!
Grazie a tutti, amici!!!
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