Due funzioni il cui prodotto è ...
Salve a tutti.
Mi chiedevo se possono esistere due funzioni $f(x)$ ed $g(y)$ tali che $f(x)*g(y) = x +y$.
E' possibile una cosa del genere ?
Grazie a tutti.
Mi chiedevo se possono esistere due funzioni $f(x)$ ed $g(y)$ tali che $f(x)*g(y) = x +y$.
E' possibile una cosa del genere ?
Grazie a tutti.
Risposte
Ciao.
Proviamo così, anche se non sono molto convinto; chiamo $f$ e $g$ le funzioni (perché non le stiamo cercando identiche) e riscrivo la condizione così:
$f(x)=\frac{x+y}{g(y)}=\frac{x}{g(y)}+\frac{y}{g(y)}$
Adesso, affinché $f(x)$ sia effenttivamente funzione della sola variabile x, sarebbe necessario far sparire la y nel secondo membro, che è impossibile.
Se $g(y)=1$ allora $f(x)=x+y$; se $g(y)=y$ quindi $f(x)=x/y+1$.
AGGIUNGO:
Per riscrivere la condizione in quel modo si è supposto $g(y)\neq 0$. Adesso se $g(y)=0$ si ha, per ogni x e y:
$0 = x+y$
che è chiaramente falso.
Proviamo così, anche se non sono molto convinto; chiamo $f$ e $g$ le funzioni (perché non le stiamo cercando identiche) e riscrivo la condizione così:
$f(x)=\frac{x+y}{g(y)}=\frac{x}{g(y)}+\frac{y}{g(y)}$
Adesso, affinché $f(x)$ sia effenttivamente funzione della sola variabile x, sarebbe necessario far sparire la y nel secondo membro, che è impossibile.
Se $g(y)=1$ allora $f(x)=x+y$; se $g(y)=y$ quindi $f(x)=x/y+1$.
AGGIUNGO:
Per riscrivere la condizione in quel modo si è supposto $g(y)\neq 0$. Adesso se $g(y)=0$ si ha, per ogni x e y:
$0 = x+y$
che è chiaramente falso.
Ciao, grazie per aver risposto! Ho modificato il nome delle due funzioni, seguendo il tuo ragionamento.
La tua vedo che è una dimostrazione per assurdo. Che cosa non ti convince di essa ?
La tua vedo che è una dimostrazione per assurdo. Che cosa non ti convince di essa ?
Due cose non mi convincono: la prima è che non studio matematica e perciò non so neppure di cosa sto parlando.
La seconda è questa.. definisco due funzioni:
$f:A\to\mathbb{R}$ e $g:B\to\mathbb{R}$
Con $A={0}$ e $B\subset\mathbb{R}$.
$f(x)=1$ e $g(y)=y$.
In altre parole ho scelto due funzioni, una la restrizione sul solo punto 0 di una funzione costante. Qualcuno me lo impedisce? E l'altra la funzione identica (o meglio, tale è se $B=\mathbb{R}$).
Quindi è vero che, per ogni $x\inA$ e per ogni $y\inB$, si abbia $f(x)\cdotg(y)=x+y$.
Questo vale come controesempio. Ovviamente questa $f$ non rientra nel tipo di funzione che "ti saresti aspettato", perciò dovresti aggiungere qualche ipotesi aggiuntiva se vuoi che due funzioni soddisfacenti tale condizione non esistano.
La seconda è questa.. definisco due funzioni:
$f:A\to\mathbb{R}$ e $g:B\to\mathbb{R}$
Con $A={0}$ e $B\subset\mathbb{R}$.
$f(x)=1$ e $g(y)=y$.
In altre parole ho scelto due funzioni, una la restrizione sul solo punto 0 di una funzione costante. Qualcuno me lo impedisce? E l'altra la funzione identica (o meglio, tale è se $B=\mathbb{R}$).
Quindi è vero che, per ogni $x\inA$ e per ogni $y\inB$, si abbia $f(x)\cdotg(y)=x+y$.
Questo vale come controesempio. Ovviamente questa $f$ non rientra nel tipo di funzione che "ti saresti aspettato", perciò dovresti aggiungere qualche ipotesi aggiuntiva se vuoi che due funzioni soddisfacenti tale condizione non esistano.
Esiste un dimostrazione per assurdo molto più semplice.
Supponiamo esistano \(\displaystyle f,g \) con quella proprietà. Allora \(\displaystyle f(x)g(-x) = x-x = 0 \) pertanto \(\displaystyle f(x) = 0 \) oppure \(\displaystyle g(-x)=0 \) (\(\displaystyle \mathbb{R} \) è un campo/dominio d'integrità[nota]Ogni campo è un dominio di integrità.[/nota]). Supponiamo che sia \(\displaystyle f(x) = 0 \), ma allora \(\displaystyle f(x)g(y) = 0g(y) = 0 \) contro le ipotesi. Il caso \(\displaystyle g(-x) \) porta allo stesso tipo di assurdo.
Supponiamo esistano \(\displaystyle f,g \) con quella proprietà. Allora \(\displaystyle f(x)g(-x) = x-x = 0 \) pertanto \(\displaystyle f(x) = 0 \) oppure \(\displaystyle g(-x)=0 \) (\(\displaystyle \mathbb{R} \) è un campo/dominio d'integrità[nota]Ogni campo è un dominio di integrità.[/nota]). Supponiamo che sia \(\displaystyle f(x) = 0 \), ma allora \(\displaystyle f(x)g(y) = 0g(y) = 0 \) contro le ipotesi. Il caso \(\displaystyle g(-x) \) porta allo stesso tipo di assurdo.
In altre parole, se ho ben capito, l'insieme ${0}$ non lo posso "usare" come ho fatto io in quanto non soddisfa la condizione $0\ne1$ (messa a posta per questo, tra l'altro), o.. qualcosa del genere, e quindi alla fine mi è davvero impedito di costruire quella funzione, 
.
In $\mathbb{R}$ il mio discorso è sbagliato. Non ne avevo idea XD...
Avevo trovato anche un altra coppia di funzioni, più carina, ma con lo stesso "difetto":
$f(x)=g(x)=\sqrt{-|x|}$.
.In $\mathbb{R}$ il mio discorso è sbagliato. Non ne avevo idea XD...
Avevo trovato anche un altra coppia di funzioni, più carina, ma con lo stesso "difetto":
$f(x)=g(x)=\sqrt{-|x|}$.
Grazie a tutti per le risposte !
L'ipotesi che avevamo fatto era $f(x)g(y) = x + y != 0$ ?
Supponiamo che sia f(x)=0, ma allora f(x)g(y)=0g(y)=0 contro le ipotesi.
L'ipotesi che avevamo fatto era $f(x)g(y) = x + y != 0$ ?
Controlla meglio. Io ho mostrato che \(\displaystyle \forall y\in\mathbb{R},\, f(x)g(y) = 0 \).
Perdonami, non capisco dove sta la contraddizione.
Lo scrivo più esplicito \( \displaystyle \forall y\in\mathbb{R},\, y = 0 + y = f(x)g(y) = 0 \)
Allora, abbiamo supposto per assurdo che sia $f(x)*g(y) = x + y$ per ogni $x, y in RR$. Ma scegliendo una certa $y = -x$, ricaviamo che può essere $f(x) = 0$ (da cui $x = 0$ ?), e quindi $y = 0$, che non può essere ogni $y in RR$.
Giusto ?
Giusto ?
No. \(f(x) = 0\) non implica \(x=0\).
Semplifico le cose scegliendo un controesempio non-generico. Per assurdo sia \(\displaystyle f(x)g(y) = x+y \) per ogni \(\displaystyle x,y\in\mathbb{R} \). Consideriamo \(\displaystyle 1 \), qualsiasi numero va bene. Allora \(0 = 1-1 = f(1)g(-1)\).
Per le proprietà del numeri reali, \(\displaystyle f(1) = 0 \) oppure \(\displaystyle g(-1) = 0 \).
La prima possibilità è impossibile perché \(\displaystyle 3 = 1+2 = f(1)g(2) = 0g(2) = 0 \). Similmente la seconda possibilità è impossibile perché \(\displaystyle 1 = 2-1 = f(2)g(-1) = f(2)0 = 0 \). Quindi siamo giunti ad un assurdo.
Semplifico le cose scegliendo un controesempio non-generico. Per assurdo sia \(\displaystyle f(x)g(y) = x+y \) per ogni \(\displaystyle x,y\in\mathbb{R} \). Consideriamo \(\displaystyle 1 \), qualsiasi numero va bene. Allora \(0 = 1-1 = f(1)g(-1)\).
Per le proprietà del numeri reali, \(\displaystyle f(1) = 0 \) oppure \(\displaystyle g(-1) = 0 \).
La prima possibilità è impossibile perché \(\displaystyle 3 = 1+2 = f(1)g(2) = 0g(2) = 0 \). Similmente la seconda possibilità è impossibile perché \(\displaystyle 1 = 2-1 = f(2)g(-1) = f(2)0 = 0 \). Quindi siamo giunti ad un assurdo.
Ok adesso è chiaro, grazie per la pazienza che hai avuto vict85!
Ovviamente grazie anche a Raam!
Buona serata a tutti.
Ovviamente grazie anche a Raam!
Buona serata a tutti.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo