Due esercizi sulle funzioni inverse
Buonasera a tutti! Svolgendo due esercizi su funzioni inverse sono nati alcuni dubbi. Riporto il testo con i miei ragionamenti.
1) "Consideriamo la funzione $ f(x)=logx/x$
a)Determinare il più grande insieme convesso che contiene x=1 sul quale un'opportuna restrizione della funzione risulta invertibile
b) Detta $g(x)$ l'inversa di cui al punto precedente, determinare il polinomio di Taylor di grado 2 di g(x) con centro in 0
c)Studiare la convergenza dell'integrale improprio $\int_-infty^0g(x)dx$
Ho svolto i primi due punti che non sembrano complicati. Studiando il segno della derivata prima l'insieme cercato dovrebbe essere $(0,e]$; cosi come il polinomio di Taylor che dovrebbe risultare uguale a $1+x+3/2x^2$. Ora mi chiedo per studiare la convergenza dell'integrale improprio potrebbe esser utile sfruttare il polinomio di Taylor??
2)"Consideriamo la funzione $f(x)=x^3+2x$, pensata come f da $RR$ in $RR$
Questo esercizio chiedeva alcune cose che però ho gia svolto. Tra queste c'era da dimostare che ammetteva un'inversa g di classe $C^(infty)$ e determinare ordine di infinitesimo/infinito e relative parti principali che dovrebbero essere queste: per x che va a infinito è asintotico a $x^(1/3)$ con parte principale uguale a 1, mentre per x che tende a zero è asintotico a x con parte principale 1/2. L'unico mio dubbio riguarda il calcolo di questo limite: $lim_(x->0)(g(arctanx)-x)/(xsin^2x)$.
Grazie in anticipo!!
1) "Consideriamo la funzione $ f(x)=logx/x$
a)Determinare il più grande insieme convesso che contiene x=1 sul quale un'opportuna restrizione della funzione risulta invertibile
b) Detta $g(x)$ l'inversa di cui al punto precedente, determinare il polinomio di Taylor di grado 2 di g(x) con centro in 0
c)Studiare la convergenza dell'integrale improprio $\int_-infty^0g(x)dx$
Ho svolto i primi due punti che non sembrano complicati. Studiando il segno della derivata prima l'insieme cercato dovrebbe essere $(0,e]$; cosi come il polinomio di Taylor che dovrebbe risultare uguale a $1+x+3/2x^2$. Ora mi chiedo per studiare la convergenza dell'integrale improprio potrebbe esser utile sfruttare il polinomio di Taylor??
2)"Consideriamo la funzione $f(x)=x^3+2x$, pensata come f da $RR$ in $RR$
Questo esercizio chiedeva alcune cose che però ho gia svolto. Tra queste c'era da dimostare che ammetteva un'inversa g di classe $C^(infty)$ e determinare ordine di infinitesimo/infinito e relative parti principali che dovrebbero essere queste: per x che va a infinito è asintotico a $x^(1/3)$ con parte principale uguale a 1, mentre per x che tende a zero è asintotico a x con parte principale 1/2. L'unico mio dubbio riguarda il calcolo di questo limite: $lim_(x->0)(g(arctanx)-x)/(xsin^2x)$.
Grazie in anticipo!!
Risposte
Per 1c) prova a usare il cambio di variabile $y=g(x)$.
Per 2), quell'arcotangente sembra essere lì sostanzialmente solo per infastidirti. Devi sviluppare $g(y)$ secondo Taylor intorno a $y=0$, poi sostituire $y=\arctan x$ e vedere cosa succede. Comincia a sviluppare \(g\) al primo ordine, dovrebbe essere sufficiente.
Per 2), quell'arcotangente sembra essere lì sostanzialmente solo per infastidirti. Devi sviluppare $g(y)$ secondo Taylor intorno a $y=0$, poi sostituire $y=\arctan x$ e vedere cosa succede. Comincia a sviluppare \(g\) al primo ordine, dovrebbe essere sufficiente.
Grazie!! Preziosissimi consigli 
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