Due esercizi sulla continuità
Saluti. Domando conferma intorno allo svolgimento di due esercizi sulla continuità di funzioni.
Esercizio n°1:
Svolgimento:
Solo se \(\displaystyle a=0 \). Se infatti fosse \(\displaystyle a \ne 0 \), \[\displaystyle \lim_{x \to 0^{-}} a \cos x + \log(1-x) = 1 \] mentre \[\displaystyle \nexists \lim_{x \to 0^{+}} \sinh \frac{x}{x^{2}+1} - a \cos \frac{1}{\sqrt{x}} \]
Può andare?
Esercizio n°2:
Svolgimento:
Se \(\displaystyle f \) è continua in \(\displaystyle \mathbb{R} \) allora \(\displaystyle \forall x_{0} \in \mathbb{R} \) vale la definizione di continuità, ossia \[\displaystyle \lim_{x \to x_{0}} f(x)=f(x_{0}) \]
Posto \(\displaystyle g=|f| \), noto che (siccome \(\displaystyle f \) è continua per hp) \[\displaystyle \lim_{x \to x_{0}} g(x)=g(x_{0}) \] da cui la continuità di \(\displaystyle g \quad \forall x_{0} \in \mathbb{R} \). Può bastare oppure sono stato troppo secco?
Quanto all'altra implicazione, ho pensato al seguente controesempio: \[\displaystyle |f(x)|=\begin{cases} |x-1| & x<0 \\ 1 & x=0 \\ |\cos x| & x>0 \end{cases}\] si vede facilmente che questa funzione è continua su tutto \(\displaystyle \mathbb{R} \), ed in particolare in \(\displaystyle x=0 \). Invece la funzione \[\displaystyle f(x)=\begin{cases} x-1 & x<0 \\ 1 & x=0 \\ \cos x & x>0 \end{cases} \] è discontinua in \(\displaystyle x=0 \).
Può andare?
Grazie in anticipo.
Esercizio n°1:
Sia \(\displaystyle f:\mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R} \) \[\displaystyle f(x)=\begin{cases} a \cos x + \log(1-x), & x<0 \\ \sinh \frac{x}{x^{2}+1} - a \cos \frac{1}{\sqrt{x}}, & x>0 \end{cases} \]
Ci sono valori di \(\displaystyle a \in \mathbb{R} \) tali che \(\displaystyle f \) possa essere estesa anche in \(\displaystyle x=0 \) di modo da ottenere una funzione continua?
Svolgimento:
Solo se \(\displaystyle a=0 \). Se infatti fosse \(\displaystyle a \ne 0 \), \[\displaystyle \lim_{x \to 0^{-}} a \cos x + \log(1-x) = 1 \] mentre \[\displaystyle \nexists \lim_{x \to 0^{+}} \sinh \frac{x}{x^{2}+1} - a \cos \frac{1}{\sqrt{x}} \]
Può andare?
Esercizio n°2:
Sia \(\displaystyle f \in C(\mathbb{R}) \). Mostrare che \(\displaystyle |f| \in C (\mathbb{R}) \). E' vero che se \(\displaystyle |f| \in C(\mathbb{R}) \), allora \(\displaystyle f \in C(\mathbb{R}) \)?
Svolgimento:
Se \(\displaystyle f \) è continua in \(\displaystyle \mathbb{R} \) allora \(\displaystyle \forall x_{0} \in \mathbb{R} \) vale la definizione di continuità, ossia \[\displaystyle \lim_{x \to x_{0}} f(x)=f(x_{0}) \]
Posto \(\displaystyle g=|f| \), noto che (siccome \(\displaystyle f \) è continua per hp) \[\displaystyle \lim_{x \to x_{0}} g(x)=g(x_{0}) \] da cui la continuità di \(\displaystyle g \quad \forall x_{0} \in \mathbb{R} \). Può bastare oppure sono stato troppo secco?
Quanto all'altra implicazione, ho pensato al seguente controesempio: \[\displaystyle |f(x)|=\begin{cases} |x-1| & x<0 \\ 1 & x=0 \\ |\cos x| & x>0 \end{cases}\] si vede facilmente che questa funzione è continua su tutto \(\displaystyle \mathbb{R} \), ed in particolare in \(\displaystyle x=0 \). Invece la funzione \[\displaystyle f(x)=\begin{cases} x-1 & x<0 \\ 1 & x=0 \\ \cos x & x>0 \end{cases} \] è discontinua in \(\displaystyle x=0 \).
Può andare?
Grazie in anticipo.
Risposte
Ciao! 
L'1 mi pare corretto.
Nel 2, non è sufficiente quanto scrivi al punto 1. Dove sta la dimostrazione? Hai solo riscritto l'enunciato!
Prova a passare dalla definizione di continuità di $f$ e a usare la disuguaglianza triangolare inversa: la dimostrazione è un passaggio, proprio solo una riga.
Per il 2, punto 2, hai visto bene, l'enunciato è falso, ma il tuo controesempio è tremendamente complesso
! Ti lascio come esercizio il compito di pensare a un controesempio più semplice (adatta alle tue esigenze, ad esempio, l'orrida funzione di Dirichlet - la caratteristica dei razionali oppure - ancora più easy - pensa a una cosa che vale -1 prima di 0 e 1...).
L'1 mi pare corretto.
Nel 2, non è sufficiente quanto scrivi al punto 1. Dove sta la dimostrazione? Hai solo riscritto l'enunciato!
Prova a passare dalla definizione di continuità di $f$ e a usare la disuguaglianza triangolare inversa: la dimostrazione è un passaggio, proprio solo una riga.
Per il 2, punto 2, hai visto bene, l'enunciato è falso, ma il tuo controesempio è tremendamente complesso
! Ti lascio come esercizio il compito di pensare a un controesempio più semplice (adatta alle tue esigenze, ad esempio, l'orrida funzione di Dirichlet - la caratteristica dei razionali oppure - ancora più easy - pensa a una cosa che vale -1 prima di 0 e 1...).
Per quanto riguarda il secondo esercizio, il trucco sta nel ricordare che vale la disuguaglianza triangolare inversa, i.e.:
\[
\Big| |f(x)|-|f(x_0)|\Big| \leq |f(x)-f(x_0)|\; ,
\]
così da fare una dimostrazione \(\varepsilon-\delta\) pulita pulita.
Per quanto riguarda il controesempio, si può prendere, molto più semplicemente:
\[
f(x):=\begin{cases} -1 &\text{, se } x<0\\
1&\text{, se } x\geq 0\; .
\end{cases}
\]
\[
\Big| |f(x)|-|f(x_0)|\Big| \leq |f(x)-f(x_0)|\; ,
\]
così da fare una dimostrazione \(\varepsilon-\delta\) pulita pulita.
Per quanto riguarda il controesempio, si può prendere, molto più semplicemente:
\[
f(x):=\begin{cases} -1 &\text{, se } x<0\\
1&\text{, se } x\geq 0\; .
\end{cases}
\]
Grazie ad entrambi.
E' certo che sono stato uno stupidotto, ma mi sembrava sufficiente quanto ho scritto. Mi spiego: se la funzione \(\displaystyle f \) è continua in un punto \(\displaystyle x_{0} \), allora vale la summenzionata definizione di continuità e quindi, per il teorema di permanenza del segno, esiste un intorno di \(\displaystyle x_{0} \) tale che la funzione calcolata nei punti di tale intorno possiede lo stesso segno del limite. Non è sufficiente questo per concludere? Se \(\displaystyle f \) è negativa in un punto \(\displaystyle x_{1} \) allora anche in un intorno di tale punto sarà negativa, e poiché vale \(\displaystyle \lim_{x \to x_{1}} f(x)=f(x_{1}) \) perché non posso affermare anche che \(\displaystyle \lim_{x \to x_{1}} |f(x)|=|f(x_{1})| \)?
E' certo che sono stato uno stupidotto, ma mi sembrava sufficiente quanto ho scritto. Mi spiego: se la funzione \(\displaystyle f \) è continua in un punto \(\displaystyle x_{0} \), allora vale la summenzionata definizione di continuità e quindi, per il teorema di permanenza del segno, esiste un intorno di \(\displaystyle x_{0} \) tale che la funzione calcolata nei punti di tale intorno possiede lo stesso segno del limite. Non è sufficiente questo per concludere? Se \(\displaystyle f \) è negativa in un punto \(\displaystyle x_{1} \) allora anche in un intorno di tale punto sarà negativa, e poiché vale \(\displaystyle \lim_{x \to x_{1}} f(x)=f(x_{1}) \) perché non posso affermare anche che \(\displaystyle \lim_{x \to x_{1}} |f(x)|=|f(x_{1})| \)?
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