Due esercizi Analisi 2

[franceschipiero]

Ciao, alcuni giorni fa ho fatto l'esame di Analisi 2 e tra pochi giorni ho l'orale. Siccome due esercizi non sono stato in grado di impostarli temo possa chiedermeli all'orale. 1) calcolare l'area del piano $ z=2x+2y $ racchiusa dal cilindro $ x^2+y^2=1 $ . 2) Calcolare $ int int_(D)^() xy^2dx dy $ con D parte di piano racchiusa da $ x=y^2 $ e $ y=x^2 $ . Vi ringrazio per la mano

[ciampax]

Non hai proprio alcuna idea?

[franceschipiero]

Allora io ovviamente ho provato, per l'esercizio 1 ho considerato il fatto che l'area si trova con un integrale, quindi sono passato alle coordinate polari e ho scritto l'integrale $ int_(0)^(1) int_(0)^(2pi ) 2*(rcosTheta + rsinTheta ) *r dr dTheta $ ma sinceramente l'ho fatto senza sapere realmente cosa stessi facendo dico la verità. Per l'eserizio due mi sono ricavato la y dalle equazioni delle parabole quindi $ x^(1/2)

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[ciampax]

Allora, per definizione un integrale del tipo $\iint_D f(x,y)\ dx\ dy$ dove $D$ è un dominio nel piano $xOy$ fornisce il volume del "cilindro" che ha come base $D$ e come altezza i valori della funzione $f$. Per cui l'integrale che stai usando tu, a prescindere dalle sostituzioni, non fornisce l'area della porzione del piano dato, relativamente alla condizione fornita. Qui dovresti usare un integrale di superficie per determinare tale area.

Per il punto 2), invece, mi pare tu abbia proceduto correttamente, a meno di una cosa: le limitazioni che trovi si deducono osservando che la porzione di piano che cerchi è delimitata dalle due funzioni (inferiormente da $y=x^2$, superiormente da $x=y^2$ o, se preferisci, $y=\sqrt{x}$) e dalla variazione della $x$ nell'intervallo $[0,1]$ (dove tali valori rappresentano le ascisse dei punti di intersezione delle due curve. Pertanto, nel tuo integrale, va scambiato l'ordine degli estremi dell'integrale in $dy$.

[franceschipiero]

Capisco. Il primo esercizio quindi non saprei proprio come procedere, gentilmente sapresti scrivermi l'impostazione dell'integrale?

[ciampax]

Prima di tutto, sai cos'è un integrale di superficie?

[franceschipiero]

So che è l'integrale doppio della norma del vettore normale alla superficie, almeno questo ho scritto sul quaderno.

[ciampax]

Sì, qualcosa del genere. Dunque, per prima cosa, al fine di calcolare l'integrale, occorre determinare una parametrizzazione della superficie. Dal momento che $z$ dipende da $x,y$ e che tali variabili sono incluse nel disco di centro l'origine e raggio 1, appare naturale scegliere la seguente parametrizzazione
$$r(u,v)=\left(u\cos v,\ u\sin v,\ 2u(\cos v+\sin v)\right),\qquad u\in[0,1],\ v\in[0,2\pi]$$
Ora, non so se lo sai, ma se indichiamo con $r_u,\ r_v$ le derivate parziali di $r(u,v)$ abbiamo l'identità seguente relativamente alla norma del vettore normale
$$|N|=|r_u\times r_v|=\sqrt{EG-F^2}$$
dove per definizione
$$E=r_u\bullet r_u,\qquad F=r_u\bullet r_v,\qquad G=r_v\bullet r_v $$
dove con $\bullet$ indico il prodotto scalare. In definitiva dovrai calcolare l'integrale
$$\int_0^1\int_0^{2\pi} \sqrt{EG-F^2}\ dv\ du$$
Prova un po'.

[franceschipiero]

grazie mille! non conoscevo l'identità che mi hai scritto. Non avevo proprio pensato a parametrizzare la superficie, ora è tutto più chiaro!