Due esercizi, Aiutooo!
Ciao è la prima volta che posto!
Due esercizi del mio esame di calcolo differenziale:
1. Calcolare il seguente limite:
lim (sin x - arctan x)/x^3 (^ "elevato a")
x->0
2. Sia f(x,y) una funzione differenziabile in R^2, sapendo che fx(1,1)=1 e fy(1,1)=0, calcolare la derivata prima della funzione O(t)=f(t^2,1/t) nel punto t=1.
Qualcuno può aiutarmi? Anche solo per qualche dritta.
Due esercizi del mio esame di calcolo differenziale:
1. Calcolare il seguente limite:
lim (sin x - arctan x)/x^3 (^ "elevato a")
x->0
2. Sia f(x,y) una funzione differenziabile in R^2, sapendo che fx(1,1)=1 e fy(1,1)=0, calcolare la derivata prima della funzione O(t)=f(t^2,1/t) nel punto t=1.
Qualcuno può aiutarmi? Anche solo per qualche dritta.
Risposte
2) Si tratta di derivare una funzione composta
O(t)=f[x(t),y(t)].Da cui:
O'(t)=fx[x(t),y(t)]*x'(t)+fy[x(t),y(t)]*y'(t)
ovvero:
O'(t)=fx[x(t),y(t)]*(2t)+fy[x(t),y(t)]*(-1/t^2)
e nel punto t=1 :
O'(1)=fx(1,1)*(2*1)+fy(1,1)*(-1/(1^2))=1*2+0*(-1)=2
1)Il limite si presenta come 0/0.Si puo' eliminare
l'indeterminazione in vari modi :con L'Hopital,
con gli sviluppi in serie,con artifici e quant'altro.
Usiamo l'Hopital: occorre ,purtroppo derivare 3 volte
per eliminare lo 0/0.
L=lim[cosx-1/(1+x^2)]/(3x^2)=0/0
=lim[cosx+x^2*cosx-1]/(x^2)]*[1/(3+3x^2)].
L'ultima frazione tende ad 1/3 e quindi si puo' scrivere:
3L=lim[cosx+x^2*cosx-1]/(x^2)=0/0=
=lim[-sinx+2xcosx-x^2*sinx)]/(2x)=0/0=
=lim[-cosx+2cosx-2xsinx-2xsinx-x^2*cosx]/2=1/2
Dunque:L=1/6.
karl.
O(t)=f[x(t),y(t)].Da cui:
O'(t)=fx[x(t),y(t)]*x'(t)+fy[x(t),y(t)]*y'(t)
ovvero:
O'(t)=fx[x(t),y(t)]*(2t)+fy[x(t),y(t)]*(-1/t^2)
e nel punto t=1 :
O'(1)=fx(1,1)*(2*1)+fy(1,1)*(-1/(1^2))=1*2+0*(-1)=2
1)Il limite si presenta come 0/0.Si puo' eliminare
l'indeterminazione in vari modi :con L'Hopital,
con gli sviluppi in serie,con artifici e quant'altro.
Usiamo l'Hopital: occorre ,purtroppo derivare 3 volte
per eliminare lo 0/0.
L=lim[cosx-1/(1+x^2)]/(3x^2)=0/0
=lim[cosx+x^2*cosx-1]/(x^2)]*[1/(3+3x^2)].
L'ultima frazione tende ad 1/3 e quindi si puo' scrivere:
3L=lim[cosx+x^2*cosx-1]/(x^2)=0/0=
=lim[-sinx+2xcosx-x^2*sinx)]/(2x)=0/0=
=lim[-cosx+2cosx-2xsinx-2xsinx-x^2*cosx]/2=1/2
Dunque:L=1/6.
karl.
Grazie dell'aiuto, non ho però ben capito il passaggio iniziale
O(t)=f[x(t),y(t)].Da cui:
O'(t)=fx[x(t),y(t)]*x'(t)+fy[x(t),y(t)]*y'(t)
Che cosa rappresentano fx e fy? in che modo sono diversi da x(t) e y(t).
O(t)=f[x(t),y(t)].Da cui:
O'(t)=fx[x(t),y(t)]*x'(t)+fy[x(t),y(t)]*y'(t)
Che cosa rappresentano fx e fy? in che modo sono diversi da x(t) e y(t).
Per il primo passaggio,non ho fatto altro che
porre x=x(t)=t^2 e y=y(t)=1/t,per cui la funzione
O(t) diventa O(t)=f(x,y)=f(x(t),y(t)).
La funzione O(t) cosi' ottenuta risulta funzione di
x ed y ,ovvero funzione composta di t tramite x(t)
e y(t).La derivata di O(t) si ottiene con la regola
di derivazione di una funzione composta e cioe':
O'(t)=fx[x(t),y(t)]*x'(t)+fy[x(t),y(t)]*y'(t)
dove fx[x(t),y(t)] e fy[x(t),y(t)] sono le derivate
parziali di f(x,y) rispetto ad x e ad y rispettivamente.
Invece x'(t) e y'(t) sono le derivate di x(t) e y(t)
rispetto a t.Tutte queste derivate vanno poi calcolate
pe x=1,y=1, t=1 con i risultati che ho indicato.
karl.
porre x=x(t)=t^2 e y=y(t)=1/t,per cui la funzione
O(t) diventa O(t)=f(x,y)=f(x(t),y(t)).
La funzione O(t) cosi' ottenuta risulta funzione di
x ed y ,ovvero funzione composta di t tramite x(t)
e y(t).La derivata di O(t) si ottiene con la regola
di derivazione di una funzione composta e cioe':
O'(t)=fx[x(t),y(t)]*x'(t)+fy[x(t),y(t)]*y'(t)
dove fx[x(t),y(t)] e fy[x(t),y(t)] sono le derivate
parziali di f(x,y) rispetto ad x e ad y rispettivamente.
Invece x'(t) e y'(t) sono le derivate di x(t) e y(t)
rispetto a t.Tutte queste derivate vanno poi calcolate
pe x=1,y=1, t=1 con i risultati che ho indicato.
karl.
Grazie ora è tutto chiaro! [:D]
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