Due dubbi sulle proprietà delle radici di un polinomio complesso
Salve,
in una domanda viene chiesto il numero minimo di radici reali di $z^14 +2z^3 +z=0$
Essendo possibile il raccoglimento a fattor comune $z(z^13 +2z^2 +1)=0$ troviamo già una radice reale $z_(1)=0$.
Delle radici di $z^13 +2z^2 +1=0$ almeno una è reale, e quindi in conclusione si hanno 2 radici reali. Ma cosa mi assicura che $z^13 +2z^2 +1=0$ ha almeno una radice reale (a parte sostituire semplicemente $z=-1$)?
Dal teorema fondamentale dell'algebra deduco che il polinomio ammette precisamente n radici complesse contate con la loro molteplicità, e al massimo n radici reali... non dice nulla sul minimo di radici reali.
Secondo dubbio: questo polinomio ha le radici coincidenti con i vertici di un poligono regolare di 14 lati. Questa affermazione è falsa. Ciò deriva dal fatto che zero è una radice, ma se così non fosse sarebbe sicuramente vera o dovrei calcolare le radici per controllare che siano tutte semplici?
Grazie e scusate la poca capacità di sintesi.
in una domanda viene chiesto il numero minimo di radici reali di $z^14 +2z^3 +z=0$
Essendo possibile il raccoglimento a fattor comune $z(z^13 +2z^2 +1)=0$ troviamo già una radice reale $z_(1)=0$.
Delle radici di $z^13 +2z^2 +1=0$ almeno una è reale, e quindi in conclusione si hanno 2 radici reali. Ma cosa mi assicura che $z^13 +2z^2 +1=0$ ha almeno una radice reale (a parte sostituire semplicemente $z=-1$)?
Dal teorema fondamentale dell'algebra deduco che il polinomio ammette precisamente n radici complesse contate con la loro molteplicità, e al massimo n radici reali... non dice nulla sul minimo di radici reali.
Secondo dubbio: questo polinomio ha le radici coincidenti con i vertici di un poligono regolare di 14 lati. Questa affermazione è falsa. Ciò deriva dal fatto che zero è una radice, ma se così non fosse sarebbe sicuramente vera o dovrei calcolare le radici per controllare che siano tutte semplici?
Grazie e scusate la poca capacità di sintesi.
Risposte
Intanto il polinomio di grado 13 ha almeno una radice reale perché il limite a $\pm\infty$ è $\pm \infty$ rispettivamente. E siamo ad almeno due radici reali. Dopo puoi vedere se riesci a ottenere qualche informazione dallo studio delle derivate. Se riesci a tracciare un grafico approssimativo, studiando le derivate prima e seconda, potresti avere spazio per trovare qualche altra radice.
Ciao Bertucciamaldestra,
Il numero minimo di radici reali di $z^14 + 2z^3 + z = 0 $ è $2$. Una è $z_1 = 0$ che hai già trovato, per cui rimane
$z^13 + 2z^2 + 1 = 0 $. Quest'ultima è un'equazione di 13° grado che, al massimo, può avere $12$ soluzioni complesse coniugate (ed in effetti ce le ha...), per cui l'ultima non può che essere reale. Attenzione che la soluzione reale non è $z = - 1$ come hai scritto, perché sostituendo $z = - 1$ in $z^13 + 2z^2 + 1 $ non risulta $0$, ma $2$: invece la seconda radice reale è $z_2 = - 1,09911$ (ricavabile con metodi numerici o con WolframAlpha).
Per quanto riguarda il discorso del poligono regolare ti sei già risposto da solo. In generale credo che l'affermazione sia falsa, vera solo in casi particolari, come ad esempio il caso delle radici $n$-esime dell'unità: $z^n - 1 = 0$.
Il numero minimo di radici reali di $z^14 + 2z^3 + z = 0 $ è $2$. Una è $z_1 = 0$ che hai già trovato, per cui rimane
$z^13 + 2z^2 + 1 = 0 $. Quest'ultima è un'equazione di 13° grado che, al massimo, può avere $12$ soluzioni complesse coniugate (ed in effetti ce le ha...), per cui l'ultima non può che essere reale. Attenzione che la soluzione reale non è $z = - 1$ come hai scritto, perché sostituendo $z = - 1$ in $z^13 + 2z^2 + 1 $ non risulta $0$, ma $2$: invece la seconda radice reale è $z_2 = - 1,09911$ (ricavabile con metodi numerici o con WolframAlpha).
Per quanto riguarda il discorso del poligono regolare ti sei già risposto da solo. In generale credo che l'affermazione sia falsa, vera solo in casi particolari, come ad esempio il caso delle radici $n$-esime dell'unità: $z^n - 1 = 0$.
Grazie mille! 
"pilloeffe":
Per quanto riguarda il discorso del poligono regolare ti sei già risposto da solo. In generale credo che l'affermazione sia falsa, vera solo in casi particolari, come ad esempio il caso delle radici $n$-esime dell'unità: $z^n - 1 = 0$.
Certo, le radici di $z^n-w$ si dispongono sui vertici di un poligono regolare, ma questo non è l'unico caso in cui ciò accade. Prova con $(z+1)^3-1=z^3+3z^2+3z$. Una radice è zero e le tre radici sono sui vertici di un triangolo equilatero: dimostrazione - cambio di variabile $Z=z+1$.
In conclusione la questione del poligono regolare per il polinomio di tredicesimo grado è stata liquidata troppo frettolosamente.
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