Due dubbi sciocchi che vorrei risolvere
Oggi vorrei cercare di fugare due dubbi davvero sciocchi che ho da tempo e vorrei cercare di capire una volta per tutte.
Il primo è relativo alla notazione rei radicali con le potenze.
Ad esempio quando eseguo la derivata $(x-1)^(1/3)$ applicando la regola $f(x)^n->f'(x)=f(x)^(n-1)$ avrei
$1/3(x-1)^(-2/3)$
Ma dato che x assume anche valori negativi devo stare ben attento a come uso questa notazione infatti si sa che $(-2)^(2/6)$ è deiverso da $(-2)^(1/3)$ (cioè alcune prop. delle potenze non sono attuabili)
Però con la derivazione uso la notazione esponenziale e quindi mi trovo a non capire bene come trattare quel $-2/3$ ad esponente. Ad esempio se per qualche tipo di derivazione avessi $(x-1)/(x-1)^(2/3)$ è consentito "gicoare" con gli esponenti per avere un unico termine della forma $(x-1)^(n)$.
Ho sempre paura a maneggiare gli esponenti perché le basi sono anche negative e in questi casi non conviene usare la notazione con esponente non intero solo per basi positive, perché nelle operazioni di derivazione è utile usare anche basi negative (trattandosi di funzioni in x reali)
Venendo quindi al dunque: quali tipi di operazioni tra potenze posso svolgerein questi casi? Sicuramente non semplificazioni del tipo $(-2)^(2/6)$ ugule $(-2)^(1/3)$ perché non lo è.
Ma prodotti di identiche basi che generano somme di esponenti valgono?
Non ho chiarissima la situazione, certe volte opero molto ad istinto. Vorrei capire bene le regole soggiacenti e cosa sarebbe consentito e cosa no.
Il primo è relativo alla notazione rei radicali con le potenze.
Ad esempio quando eseguo la derivata $(x-1)^(1/3)$ applicando la regola $f(x)^n->f'(x)=f(x)^(n-1)$ avrei
$1/3(x-1)^(-2/3)$
Ma dato che x assume anche valori negativi devo stare ben attento a come uso questa notazione infatti si sa che $(-2)^(2/6)$ è deiverso da $(-2)^(1/3)$ (cioè alcune prop. delle potenze non sono attuabili)
Però con la derivazione uso la notazione esponenziale e quindi mi trovo a non capire bene come trattare quel $-2/3$ ad esponente. Ad esempio se per qualche tipo di derivazione avessi $(x-1)/(x-1)^(2/3)$ è consentito "gicoare" con gli esponenti per avere un unico termine della forma $(x-1)^(n)$.
Ho sempre paura a maneggiare gli esponenti perché le basi sono anche negative e in questi casi non conviene usare la notazione con esponente non intero solo per basi positive, perché nelle operazioni di derivazione è utile usare anche basi negative (trattandosi di funzioni in x reali)
Venendo quindi al dunque: quali tipi di operazioni tra potenze posso svolgerein questi casi? Sicuramente non semplificazioni del tipo $(-2)^(2/6)$ ugule $(-2)^(1/3)$ perché non lo è.
Ma prodotti di identiche basi che generano somme di esponenti valgono?
Non ho chiarissima la situazione, certe volte opero molto ad istinto. Vorrei capire bene le regole soggiacenti e cosa sarebbe consentito e cosa no.
Risposte
Volendo farla semplice, puoi riportarti alla notazione con radice:
$text(d)/(\text(d)x) (x-1)^(1/3)=1/3 (x-1)^(-2/3)=1/(3 (x-1)^(2/3))=1/(3 root(3)((x-1)^2)$
Sì quello mi è chiaro, forse mi sono spiegato male ma il mio dubbio verte su quali operazioni siano poi consentite e quali no con la suddetta notazione.
Proprio perché la base della mia potenza è negativa.
E' solo la semplificazione dell'esponente fratto a creare problemi?
Grazie
Proprio perché la base della mia potenza è negativa.
E' solo la semplificazione dell'esponente fratto a creare problemi?
Grazie
Semplicemente le potenze ad esponente non naturale sono definite solo con base positiva. Tutto qui.
È una diatriba vecchia come il mondo (esagero
), se cerchi nel forum troverai parecchie discussioni in merito, in particolare sulla differenza tra radici e potenze ad esponente non naturale
Cordialmente, Alex
È una diatriba vecchia come il mondo (esagero
), se cerchi nel forum troverai parecchie discussioni in merito, in particolare sulla differenza tra radici e potenze ad esponente non naturaleCordialmente, Alex
Grazie per la risposta.
Penso ormai mi odierai con tutti 'sti dubbi perché mi rispondi sempre tu, Alex
Comunque sia, sì, in realtà mi è chiara la diatriba. So che di solito si è convenuto di non usare la notazione con esponente non intero per basi negative.
Tuttavia converrai con me che nel processo di derivazione si utilizzano, ad esempio nel caso che ho portato sopra, anche con basi negative si utilizza perché piùagevole la notazione esponenziale.
per derivare (x-1)^-2, ad esempio, è molto comoda per ricordare la formula di derivazione. Però dopo il processo di derivazine mi trovo proprio con potenze con basi negative e esponenti fratti e lì ho paura di far danno.
Da qui la domanda: quali operazioni tra potenze sono possibili con notazione di questo tipo (considerando che si maneggia una base negativa)?
Semplificazioni è chiaro di no, ma ad esempio se avessi: $ (x-1)/(x-1)^(2/3)=(x-1)^(1/3)$, deduco che continua invece a valere la differenza di esponenti per la divisione.
Penso ormai mi odierai con tutti 'sti dubbi perché mi rispondi sempre tu, Alex
Comunque sia, sì, in realtà mi è chiara la diatriba. So che di solito si è convenuto di non usare la notazione con esponente non intero per basi negative.
Tuttavia converrai con me che nel processo di derivazione si utilizzano, ad esempio nel caso che ho portato sopra, anche con basi negative si utilizza perché piùagevole la notazione esponenziale.
per derivare (x-1)^-2, ad esempio, è molto comoda per ricordare la formula di derivazione. Però dopo il processo di derivazine mi trovo proprio con potenze con basi negative e esponenti fratti e lì ho paura di far danno.
Da qui la domanda: quali operazioni tra potenze sono possibili con notazione di questo tipo (considerando che si maneggia una base negativa)?
Semplificazioni è chiaro di no, ma ad esempio se avessi: $ (x-1)/(x-1)^(2/3)=(x-1)^(1/3)$, deduco che continua invece a valere la differenza di esponenti per la divisione.
A parer mio se segui le "solite" consuetudini non dovresti avere nessun problema con le derivate ... ovvero se la funzione ti si presenta già con esponenti razionali, presupponi che le basi siano positive; se invece hai delle radici (normali radici cioè con indice solo naturale) fai le consuete considerazioni sulla parità dell'indice della radice; nel proseguio dei conti puoi comunque traformare le radici in esponenti (se ti é più comodo) perché questo non intaccherà il C.E. originario
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Ho capito il consiglio, grazie.
Un'ultima cosa, secondo te avendo:
$1/( (x-1)^(2/3))=1/( root(3)((x-1)^2)$
nessuno mi vieta in realtà di scrivere
$1/( (x-1)^(2/3))=1/( root(3)(x-1))^2$
Compiendo una delle due scelte operando poi con le radici e non più con gli esponenti non cambierebbe nulla seguendo la strada uno rispetto alla strada due?
Ad esempio se volessi mettere $1/((x-1)^(2/3))$ sotto radice quadrata con gli esponenti:
A)
$sqrt(1/((x-1)^(2/3)))=1/((x-1)^(2/3))^(1/2)=1/((x-1)^((2/3)(1/2)))=1/((x-1)^(1/3))$
B)
Seguendo la strada 2 avrei
$sqrt(1/((x-1)^(2/3)))=1/sqrt((x-1)^(2/3))=1/sqrt( (root(3)(x-1))^2)=1/(|root(3)(x-1)|)$
Qui ho un modulo che con gli esponenti non ho
C)
nel caso 1:
$1/((x-1)^(2/3))=1/sqrt((root(3)((x-1)^2))$
ma in questo caso non potrei semplificare il quadrato interno con la radice.
In poche parole 3 risultati diversi, evidentemente sbaglio
Un'ultima cosa, secondo te avendo:
$1/( (x-1)^(2/3))=1/( root(3)((x-1)^2)$
nessuno mi vieta in realtà di scrivere
$1/( (x-1)^(2/3))=1/( root(3)(x-1))^2$
Compiendo una delle due scelte operando poi con le radici e non più con gli esponenti non cambierebbe nulla seguendo la strada uno rispetto alla strada due?
Ad esempio se volessi mettere $1/((x-1)^(2/3))$ sotto radice quadrata con gli esponenti:
A)
$sqrt(1/((x-1)^(2/3)))=1/((x-1)^(2/3))^(1/2)=1/((x-1)^((2/3)(1/2)))=1/((x-1)^(1/3))$
B)
Seguendo la strada 2 avrei
$sqrt(1/((x-1)^(2/3)))=1/sqrt((x-1)^(2/3))=1/sqrt( (root(3)(x-1))^2)=1/(|root(3)(x-1)|)$
Qui ho un modulo che con gli esponenti non ho
C)
nel caso 1:
$1/((x-1)^(2/3))=1/sqrt((root(3)((x-1)^2))$
ma in questo caso non potrei semplificare il quadrato interno con la radice.
In poche parole 3 risultati diversi, evidentemente sbaglio
No, aspe' ... nelle espressioni in premessa è tutto ok (IMHO) ma quando dici "metto sotto radice quadrata" allora cambi il dominio della funzione ovvero lo devi restringere ai valori che rendono ancora valida l'espressione, e questo è indipendente da ciò che farai dopo ...
Sì, certo hai ragione. Ma non l'ho esplicitato il C.E perché in realtà è sempre positiva sotto radice. Proprio perché (x-1) è elevato ad esponente pari. E a numeratore ho 1.
Mi pare A,B,C siano coerenti per questa certa positività dell'argomento della radice, sbaglio?
Eppure mi sembran tre risultati diversi, cosa che ovviamente mi fa intendere stia sbagliando qualcosa
Mi pare A,B,C siano coerenti per questa certa positività dell'argomento della radice, sbaglio?
Eppure mi sembran tre risultati diversi, cosa che ovviamente mi fa intendere stia sbagliando qualcosa
Così, ad occhio non mi sembrano poi così diversi ...
Per esempio nel caso C, ti sei dimenticato una proprietà delle radici cioè $sqrt(root(3)(x^2))=root(6)(x^2)$
Anche nel caso B non vedo incongruenze: estrarre la radice quadrata di un quadrato è sempre posssibile; certamente è una situazione delicata perché potresti essere tentato di scambiare tra loro la potenza e la radice ma allora ricadresti nella situazione che ho descritto nel post precedente e quindi saresti tenuto a restringere il dominio ... IMHO
Per esempio nel caso C, ti sei dimenticato una proprietà delle radici cioè $sqrt(root(3)(x^2))=root(6)(x^2)$
Anche nel caso B non vedo incongruenze: estrarre la radice quadrata di un quadrato è sempre posssibile; certamente è una situazione delicata perché potresti essere tentato di scambiare tra loro la potenza e la radice ma allora ricadresti nella situazione che ho descritto nel post precedente e quindi saresti tenuto a restringere il dominio ... IMHO
Aspetta aspetta che fose ci sono, dimmi se sbaglio...
In pratica l'errore nel B usando il caso
$1/( (x-1)^(2/3))=1/( root(3)(x-1))^2$
è nel passaggio
$1/sqrt( (root(3)(x-1))^2)=1/(|root(3)(x-1)|)$
perché semplificando il ^2 con la radice quadrata è come accettassi che si tratti di una base positiva. Cioè non devo confondere quel 2 ad esponente come qualcosa di semplificabile con la radice.
A questo punto B è uguale a C cioè avrei:
$1/sqrt( (root(3)(x-1))^2)=1/(root(6)((x-1)^2)$
Se fosse corretto mi rimane sono un dubbio nel punto A e finalmente ho chiarito un annoso dubbio che mi ha portato spesso a calcoli errati!
Sarebbe molto bello.
In pratica l'errore nel B usando il caso
$1/( (x-1)^(2/3))=1/( root(3)(x-1))^2$
è nel passaggio
$1/sqrt( (root(3)(x-1))^2)=1/(|root(3)(x-1)|)$
perché semplificando il ^2 con la radice quadrata è come accettassi che si tratti di una base positiva. Cioè non devo confondere quel 2 ad esponente come qualcosa di semplificabile con la radice.
A questo punto B è uguale a C cioè avrei:
$1/sqrt( (root(3)(x-1))^2)=1/(root(6)((x-1)^2)$
Se fosse corretto mi rimane sono un dubbio nel punto A e finalmente ho chiarito un annoso dubbio che mi ha portato spesso a calcoli errati!
Sarebbe molto bello.
"vastità":
A questo punto B è uguale a C cioè avrei:
$ 1/sqrt( (root(3)(x-1))^2)=1/(root(6)((x-1)^2) $
Purtroppo ho visto che non mi hai confermato quel che avevo scritto nell'ultimo post, spero fosse giusto
...............................
In questi giorni ho avuto modo di ragionarci ancora un po', un esempio del genere, dopo quanto mi hai detto, mi verrebbe da dire che sia la stessa cosa in entrambi i modi.
Dato che è indifferente scrivere, per quanto dicevamo
$(root(3)(-8))^2$ oppure $root(3)(-8^2)$
Allora è identico avere:
$((root(3)(-8))^2)*(root(3)(-8))=(root(3)(-8))^3$
oppure
$(root(3)(-8^2))*(root(3)(-8))=root(3)(-8^3)$
Ho messo -8 solo per renderlo un esempio concreto, ma dovrebbe valere in generale.
Mi sembrerebbe tornare ora.
Ti ringrazio ancora alex.
Sì, direi di sì, mentre il post precedente mi rimane un po' nebuloso ... comunque ti suggerirei di evitare troppe elucubrazioni per ora ... casomai ti si presentasse qualche situazione "incerta" prova a postarla qui ... 
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Grazie, sei molto gentile.
Buona serata.
Buona serata.
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