Due domande sul calcolo a due variabili
salve a tutto il forum; conoscevo il sito ma non sapevo che avesse anche un forum, l'ho scoperto oggi e la ritengo una risorsa utilissima 
sono uno studente universitario, ma siccome sono un programmatore e non un matematico, di matematica capisco poco e niente
il che un po' mi dispiace perché comunque la ritengo una disciplina interessantissima, ma veniamo al dunque: volevo sapere se qualcuno può spiegarmi queste due cose:
1) come si procede quando si deve risolvere un integrale doppio convertendo a coordinate polari (gli integrali doppi normali penso di saperli fare)
2) come si fa una derivata direzionale
vi faccio queste due domande perché purtroppo non ho a disposizione del materiale decente su cui studiare il calcolo a più variabili, e i miei appunti sono un po' carenti sull'argomento perché per vari motivi ho perso le ultime lezioni del mio corso... per gli altri argomenti dovrei essere a posto.
ringrazio ogni eventuale aiuto
saluti
sono uno studente universitario, ma siccome sono un programmatore e non un matematico, di matematica capisco poco e niente
il che un po' mi dispiace perché comunque la ritengo una disciplina interessantissima, ma veniamo al dunque: volevo sapere se qualcuno può spiegarmi queste due cose:
1) come si procede quando si deve risolvere un integrale doppio convertendo a coordinate polari (gli integrali doppi normali penso di saperli fare)
2) come si fa una derivata direzionale
vi faccio queste due domande perché purtroppo non ho a disposizione del materiale decente su cui studiare il calcolo a più variabili, e i miei appunti sono un po' carenti sull'argomento perché per vari motivi ho perso le ultime lezioni del mio corso... per gli altri argomenti dovrei essere a posto.
ringrazio ogni eventuale aiuto
saluti
Risposte
Per passare in un integrale doppio da coord.cartesiane ortogonali
a polari e' sufficiente sostituire nella funzione le formule
x=ro*cos(teta),y=ro*sin(teta) e a dxdy la formula ro*d(ro)d(teta)
La derivata di f nella direzione individuata dal vettore U,di
componenti Ui,si puo' ottenere in due modi equivalenti(anche se
apparentemente diversi) come si puo' vedere dalla figura.
Ciao.
ti ringrazio per la risposta
per quanto riguarda l'integrale doppio non è che per caso qualcuno ha anche qualche link dove spiega come mai dx e dy vanno convertiti a quel modo? all'esame non dovrebbe chiederlo (da un po' di tempo il prof. mio fa solo orali semplici per i non esonerati), ma in ogni modo mi interesserebbe capirlo bene a fondo per interesse mio...
sennò se qualcuno potesse darmi un'indicazione su come si dimostra...
e per quanto riguarda invece la derivata direzionale credo che il nostro prof. l'abbia spiegato senza usare algebra vettoriale... possibile? ci sono solo quei due modi per farle?
inoltre volevo sapere di preciso qual è il significato geomtrico di derivata direzionale di una certa funzione rispetto a una certa direzione: si tratta della derivata dell'intersezione tra la superficie che rappresenta la funzione e un piano verticale orientato in quella direzione? e il piano deve per forza passare per l'origine?
(perdonatemi se dico castronerie... ^^')
per quanto riguarda l'integrale doppio non è che per caso qualcuno ha anche qualche link dove spiega come mai dx e dy vanno convertiti a quel modo? all'esame non dovrebbe chiederlo (da un po' di tempo il prof. mio fa solo orali semplici per i non esonerati), ma in ogni modo mi interesserebbe capirlo bene a fondo per interesse mio...
sennò se qualcuno potesse darmi un'indicazione su come si dimostra...
e per quanto riguarda invece la derivata direzionale credo che il nostro prof. l'abbia spiegato senza usare algebra vettoriale... possibile? ci sono solo quei due modi per farle?
inoltre volevo sapere di preciso qual è il significato geomtrico di derivata direzionale di una certa funzione rispetto a una certa direzione: si tratta della derivata dell'intersezione tra la superficie che rappresenta la funzione e un piano verticale orientato in quella direzione? e il piano deve per forza passare per l'origine?
(perdonatemi se dico castronerie... ^^')
Ecco un semplice esempio, limitato al caso di funzione di due variabili ma facilmente estendibile a n variabili.
Ovviamente non dico nulla di diverso da quanto ha già scritto archimede in modo sintetico.
Si voglia calcolare la derivata direzionale della funzione
z = e^(xy) nel punto A(1,-1)rispetto al vettore u =(2i+j).
Per prima cosa normalizzo il vettore u e lo chiamerò u' ; u' sarà quindi un versore : basta dividere u per il suo modulo che vale
u| = sqrt(2^2+1^2)= sqrt(5).
Dunque :vettore u'= vettore u/|u| = ((2*i/sqrt(5))+ j/sqrt(5)).
Seconda fase : calcolo il gradiente della funzione z =z(x,y).
Il gradiente di una funzione è un vettore che ha come componenti le derivate parziali della funzione stessa ; otterrò quindi
dz/dx = y*e^(xy) ; dz/dy = x*e^(xy) [ da intendersi come derivate parziali].
Le calcolo nel punto A(1,-1) ottenendo :
dz/dx = -1/e ; dz/dy = 1/e
Quindi il vettore grad f =(-i/e+j/e) [ il grad si indica anche con il triangolo rovesciato, come ha scritto archimede).
A questo punto il valore della derivata direzionale nel punto si ottiene eseguendo il prodotto scalare tra i 2 vettori, uno il versore u', l'altro il vettore gradiente .
Quindi : (2*i/sqrt(5)+j/sqrt(5))x(-i/e+j/e)=
=(-2/(e*sqrt(5)))+(1/(e*sqrt(5))) = -sqrt(5)/(5e).
Vai comunque a vedere l'ottimo eserciziario di Analisi B di Luca a questo sito:
http://www.llussardi.it/download/esrcit.MI.pdf
Camillo
Ovviamente non dico nulla di diverso da quanto ha già scritto archimede in modo sintetico.
Si voglia calcolare la derivata direzionale della funzione
z = e^(xy) nel punto A(1,-1)rispetto al vettore u =(2i+j).
Per prima cosa normalizzo il vettore u e lo chiamerò u' ; u' sarà quindi un versore : basta dividere u per il suo modulo che vale
u| = sqrt(2^2+1^2)= sqrt(5).Dunque :vettore u'= vettore u/|u| = ((2*i/sqrt(5))+ j/sqrt(5)).
Seconda fase : calcolo il gradiente della funzione z =z(x,y).
Il gradiente di una funzione è un vettore che ha come componenti le derivate parziali della funzione stessa ; otterrò quindi
dz/dx = y*e^(xy) ; dz/dy = x*e^(xy) [ da intendersi come derivate parziali].
Le calcolo nel punto A(1,-1) ottenendo :
dz/dx = -1/e ; dz/dy = 1/e
Quindi il vettore grad f =(-i/e+j/e) [ il grad si indica anche con il triangolo rovesciato, come ha scritto archimede).
A questo punto il valore della derivata direzionale nel punto si ottiene eseguendo il prodotto scalare tra i 2 vettori, uno il versore u', l'altro il vettore gradiente .
Quindi : (2*i/sqrt(5)+j/sqrt(5))x(-i/e+j/e)=
=(-2/(e*sqrt(5)))+(1/(e*sqrt(5))) = -sqrt(5)/(5e).
Vai comunque a vedere l'ottimo eserciziario di Analisi B di Luca a questo sito:
http://www.llussardi.it/download/esrcit.MI.pdf
Camillo
La interpretazione geometrica della derivata direzionale ( rispetto all'asse r ) è questa :
considera la sezione ( lr)della superficie di equazione z=f(x,y) con un piano parallelo all'asse z e avente per traccia sul piano (x,y) la retta r.
Detta (tr) la retta tangente a (lr) nel punto M(x,y,z)con z= f(x,y) , la derivata direzionale rappresenta allora il valore della tangente trigonometrica dell'angolo che la retta tangente (tr) forma con l'asse r .
Se fai un disegno è chiaro cosa significhi.
Camillo
considera la sezione ( lr)della superficie di equazione z=f(x,y) con un piano parallelo all'asse z e avente per traccia sul piano (x,y) la retta r.
Detta (tr) la retta tangente a (lr) nel punto M(x,y,z)con z= f(x,y) , la derivata direzionale rappresenta allora il valore della tangente trigonometrica dell'angolo che la retta tangente (tr) forma con l'asse r .
Se fai un disegno è chiaro cosa significhi.
Camillo
infatti penso di aver capito quello che hai detto (mi riferisco all'interpretazione geometrica della derivata direzionale; una cosa che mi sembra mancare in questo forum è il tasto per quotare )
ma allora se la retta r passa per l'origine (q=0) è possibile ricavare una derivata direzionale convertendo la funzione f in coordinate polari e derivando rispetto a rho? se poi la si vuole ottenere rispetto a una certa direzione, allora si fissa l'angolo (alfa o teta, comunque lo si chiami) in quella direzione... sarebbe corretto?
lo chiedo perché il mio professore sul calcolo a due variabili penso che abbia dovuto ridurre un po' il programma (aveva poco tempo) e mi pare che chieda di fare derivate direzionali sempre passanti per (0;0)
)ma allora se la retta r passa per l'origine (q=0) è possibile ricavare una derivata direzionale convertendo la funzione f in coordinate polari e derivando rispetto a rho? se poi la si vuole ottenere rispetto a una certa direzione, allora si fissa l'angolo (alfa o teta, comunque lo si chiami) in quella direzione... sarebbe corretto?
lo chiedo perché il mio professore sul calcolo a due variabili penso che abbia dovuto ridurre un po' il programma (aveva poco tempo) e mi pare che chieda di fare derivate direzionali sempre passanti per (0;0)
Se la direzione r ( indipendentemente da dove passi la retta ) forma un angolo teta con la direzione positiva dell'asse delle ascisse, allora la derivata direzionale rispetto ad r , df/dr è uguale a :
(df/dx)*cos (teta) + (df/dy)*sin(teta).
Non è nulla di diverso rispetto a quanto scritto ieri, appare solo in una forma differente( non è altro che il prodotto scalare del gradiente per il versore della direzione)
Camillo
(df/dx)*cos (teta) + (df/dy)*sin(teta).
Non è nulla di diverso rispetto a quanto scritto ieri, appare solo in una forma differente( non è altro che il prodotto scalare del gradiente per il versore della direzione)
Camillo
ma la somma della derivata rispetto a x per cos(teta) più la derivata rispetto a y per sen(teta), cioè
(df/dx) * cos(teta) + (df/dy)*sen(teta)
corrisponde a come faccio io, cioè alla derivata rispetto a rho della funzione convertita in coordinate polari? cioè corrisponde a questa?
d(f(r*cos(teta), r*sen(teta)))
------------------------------
d(r)
dove per "r" intendo rho...
ho fatto la prova con alcune funzioni ed effettivamente corrisponde... confermate?
grazie ancora dell'aiuto che mi date.
(df/dx) * cos(teta) + (df/dy)*sen(teta)
corrisponde a come faccio io, cioè alla derivata rispetto a rho della funzione convertita in coordinate polari? cioè corrisponde a questa?
d(f(r*cos(teta), r*sen(teta)))
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d(r)
dove per "r" intendo rho...
ho fatto la prova con alcune funzioni ed effettivamente corrisponde... confermate?
grazie ancora dell'aiuto che mi date.
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