Due domande pre-esame sulle equazioni differenziali e Serie di Taylor
Salve a tutti. L'esame di analisi è dopodomani e rivedendo vecchi appelli del mio professore mi sono venuti due dubbi.
Il primo dubbio è sulle equazioni differenziali. La seguente equazione differenziale mi ha spiazzato, anche perchè non è del tipo di quelle che ci ha insegnato il prof:
$y''-y'+2y = x+e^(2x)$
Non ho mai risolto equazioni differenziali con un termine noto così, so risolvere solo casi in cui il termine noto è o un polinomio o una combinazione lineare di seno e coseno o un'esponenziale. Come dovrei comportarmi in questo caso?
Il secondo dubbio riguarda il polinomio di Taylor.
Esercizio ricorrente negli appelli:
"Scrivere i primi X termini del Polinomio di Taylor della funzione f(x)"
Nell'ultimo appello però (e unicamente in quest'ultimo), l'esercizio a proposito di Taylor chiedeva:
"Calcolare la serie di Taylor della funzione $y= (1+x)/(1-x)$ attorno al punto $xo=0$"
So dalla teoria che il polinomio di Taylor è uno sviluppo in serie (di potenze) di Taylor troncato all'n-esimo termine, con eventualmente il resto di Peano o di Lagrange.
Allora mi chiedo, cosa intende con "Calcolare la serie"? Scrivere i primi termini dello sviluppo della serie? E come avrei dovuto chiuderla? Con i punti di sospensione per indicare uno sviluppo infinito dato che non mi viene richiesto ne l'ordine ne il tipo di resto?
Grazie in anticipo.
Il primo dubbio è sulle equazioni differenziali. La seguente equazione differenziale mi ha spiazzato, anche perchè non è del tipo di quelle che ci ha insegnato il prof:
$y''-y'+2y = x+e^(2x)$
Non ho mai risolto equazioni differenziali con un termine noto così, so risolvere solo casi in cui il termine noto è o un polinomio o una combinazione lineare di seno e coseno o un'esponenziale. Come dovrei comportarmi in questo caso?
Il secondo dubbio riguarda il polinomio di Taylor.
Esercizio ricorrente negli appelli:
"Scrivere i primi X termini del Polinomio di Taylor della funzione f(x)"
Nell'ultimo appello però (e unicamente in quest'ultimo), l'esercizio a proposito di Taylor chiedeva:
"Calcolare la serie di Taylor della funzione $y= (1+x)/(1-x)$ attorno al punto $xo=0$"
So dalla teoria che il polinomio di Taylor è uno sviluppo in serie (di potenze) di Taylor troncato all'n-esimo termine, con eventualmente il resto di Peano o di Lagrange.
Allora mi chiedo, cosa intende con "Calcolare la serie"? Scrivere i primi termini dello sviluppo della serie? E come avrei dovuto chiuderla? Con i punti di sospensione per indicare uno sviluppo infinito dato che non mi viene richiesto ne l'ordine ne il tipo di resto?
Grazie in anticipo.
Risposte
Per rispondere alla seconda domanda, puoi osservare che
\[ y = (1 + x) \sum_{n=0}^{+\infty} x^{n} = \sum_{n=0}^{+\infty} ( x^{n} + x^{n+1} ) = ... \]
\[ y = (1 + x) \sum_{n=0}^{+\infty} x^{n} = \sum_{n=0}^{+\infty} ( x^{n} + x^{n+1} ) = ... \]
"SheldonLeeCooper":
Salve a tutti. L'esame di analisi è dopodomani e rivedendo vecchi appelli del mio professore mi sono venuti due dubbi.
Il primo dubbio è sulle equazioni differenziali. La seguente equazione differenziale mi ha spiazzato, anche perchè non è del tipo di quelle che ci ha insegnato il prof:
$ y''-y'+2y = x+e^(2x) $
Non ho mai risolto equazioni differenziali con un termine noto così, so risolvere solo casi in cui il termine noto è o un polinomio o una combinazione lineare di seno e coseno o un'esponenziale. Come dovrei comportarmi in questo caso?
essendo un' equazione differenziale lineare,ti basta trovare una soluzione particolare dell'equazione nel caso il termine noto sia solo $x$,una nel caso sia solo $e^(2x)$ e poi sommarle
"stormy":
essendo un' equazione differenziale lineare,ti basta trovare una soluzione particolare dell'equazione nel caso il termine noto sia solo $ x $,una nel caso sia solo $ e^(2x) $ e poi sommarle
Quindi dovrei:
1 calcolare la soluzione generale dell'equazione omogenea associata
2 calcolare una soluzione particolare dell'equazione differenziale con termine noto x
3 calcolare una soluzione particolare dell'equazione differenziale con termine noto e^x
4 sommare la soluzione generale e le due particolari.
È corretto?
"Seneca":
Per rispondere alla seconda domanda, puoi osservare che
\[ y = (1 + x) \sum_{n=0}^{+\infty} x^{n} = \sum_{n=0}^{+\infty} ( x^{n} + x^{n+1} ) = ... \]
Quindi avevo intuito bene che non si tratta della medesima richiesta...anche se continuo a non capire la consegna...Adesso che ho il termine generale dovrei sviluppare i primi termini o calcolarne la somma?
"SheldonLeeCooper":
Salve a tutti. L'esame di analisi è dopodomani e rivedendo vecchi appelli del mio professore mi sono venuti due dubbi.
Il primo dubbio è sulle equazioni differenziali. La seguente equazione differenziale mi ha spiazzato, anche perchè non è del tipo di quelle che ci ha insegnato il prof:
$y''-y'+2y = x+e^(2x)$
Non ho mai risolto equazioni differenziali con un termine noto così, so risolvere solo casi in cui il termine noto è o un polinomio o una combinazione lineare di seno e coseno o un'esponenziale. Come dovrei comportarmi in questo caso?
Prima di tutto risolvi l'omogenea associata:
$y''(x)-y'(x)+2y(x) = x+e^(2x)$
$=>y_0(x)=sqrt(e^x)[c_1cos(7/2x)+c_2sin(7/2x)]$
Dopodiché cerchi una soluzione particolare che soddisfi il membro di destra della tua equazione: in questo caso puoi provare con
$y_p(x)=a+bx+ce^(2x)$
Calcolandone le derivate e sostituendole all'equazione originale troverai
$4ce^(2x)-b-2ce^(2x)+2a+2bx+2ce^(2x)=x+e^(2x)$
la cui soluzione si trova risolvendo il sistema
${ ( -b+2a=0 ),( 2b=1 ),( 4c=1 ):}$
Sostituendo i valori dei parametri alla particolare che hai imposto troverai che la soluzione completa dell'equazione differenziale è:
$y(x)=y_0(x)+y_p(x)=sqrt(e^x)[c_1cos(7/2x)+c_2sin(7/2x)]+1/4+x/2+e^(2x)/4$
"Brancaleone":
Prima di tutto risolvi l'omogenea associata:
$ y''(x)-y'(x)+2y(x) = x+e^(2x) $
$ =>y_0(x)=sqrt(e^x)[c_1cos(7/2x)+c_2sin(7/2x)] $
Dopodiché cerchi una soluzione particolare che soddisfi il membro di destra della tua equazione: in questo caso puoi provare con
$ y_p(x)=a+bx+ce^(2x) $
Calcolandone le derivate e sostituendole all'equazione originale troverai
$ 4ce^(2x)-b-2ce^(2x)+2a+2bx+2ce^(2x)=x+e^(2x) $
la cui soluzione si trova risolvendo il sistema
$ { ( -b+2a=0 ),( 2b=1 ),( 4c=1 ):} $
Sostituendo i valori dei parametri alla particolare che hai imposto troverai che la soluzione completa dell'equazione differenziale è:
$ y(x)=y_0(x)+y_p(x)=sqrt(e^x)[c_1cos(7/2x)+c_2sin(7/2x)]+1/4+x/2+e^(2x)/4 $
Ti ringrazio! insomma la combinazione lineare dei tre casi (polinomio, esponenziale e seno/coseno) non crea nessun tipo di problema nella risoluzione...
Sapresti aiutarmi anche con l'altro dubbio?
Ricordati la formula della somma della serie geometrica e giocaci un po'
"SheldonLeeCooper":
"Calcolare la serie di Taylor della funzione $y= (1+x)/(1-x)$ attorno al punto $xo=0$"
Per questo si usa una sorta di ‘trucco’. Segno con \(\displaystyle Tf(x_0)\) la serie di Taylor di \(\displaystyle f \) centrata in \(\displaystyle x_0 \). Nota che con serie di Taylor intendo la serie formale \(\displaystyle \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{f^{(i)}}{i!}(x_0)(x - x_0)^i = \lim_{n\to \infty} T_nf(x_0) \) (una serie formale è una generalizzazione dei polinomio che ne sono un sottoanello) dove \(\displaystyle f^{(0)} = f \).
A questo punto noto che \(\displaystyle Tp(0) = p \) per ogni polinomio \(\displaystyle p \). Inoltre vale \(\displaystyle Tfg(x_0) = Tf(x_0)\cdot Tg(x_0) \) e \(\displaystyle Tf^{-1}(x_0) = \bigl(Tf(x_0) \bigr)^{-1} \) dove l'inverso finale è l'inverso moltiplicativo nell'anello delle serie formali. Il secondo richiede immagino un po' di conoscenza matematiche aggiuntive ma il primo ti invito a provarlo.
In questo senso hai che \(\displaystyle Ty(0) = T(1+x)(0)\cdot T(1-x)^{-1}(0) = (1+x)T(1-x)^{-1}(0) \).
A questo punto noti che \(\displaystyle (1-x)\sum_{i=0}^{\infty} x^i = \sum_{i=0}^{\infty} x^i - \sum_{i=0}^{\infty} x^{i+1} = \sum_{i=0}^{\infty} x^i - \sum_{i=1}^{\infty} x^{i} = 1 + \sum_{i=1}^{\infty} (x^i - x^i) = 1\) che prova che \(\displaystyle T(1-x)^{-1}(0) = \sum_{i=0}^{\infty} x^i \).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo