Due domande intuitive sul limite del rapporto
Ho scoperto ora questo forum cercando risposta a un dubbio che mi pervade e sono giunto su questi lidi.
Innanzitutto quindi grazie per le future rispose.
Il mio dubbio, come da titolo, nasce nello studio dei limiti in particolare so che il limite di un rapporto di funzioni è il rapporto dei limiti delle due funzioni.
A questo punto risulta evidente che se ho una f(x) tale per cui ha limite nella sua x->x' di valore l uguale al limite x->x' di g(x)= l (continue) il rapporto tra i due limiti sarà 1.
il problema mi sorge quando voglio calcolare il lim x->x' f(x)/g(x) a questo punto in teoria (esattamente come quando vado a valutare gli ordini degli infinitesimi nel rapporto) il rapporto tra f(x)/g(x) sotto il limite non dovrebbero indicarmi come risultato quale delle due converge in l più velocemente?
Non capisco in parole povere perché lim x->x' f(x)/g(x) mi dia valore l, in teoria se g(x) converge più lentamente allora il loro rapporto dovrebbe indicarmi che g(x) sta in f(x) sempre meno volte "via via che passo al limite" e quindi mi aspetterei come risultato non 1 bensì 0
Scusate le imprecisioni ma non sapevo come renderlo a parole
Grazie per l'aiuto!
Innanzitutto quindi grazie per le future rispose.
Il mio dubbio, come da titolo, nasce nello studio dei limiti in particolare so che il limite di un rapporto di funzioni è il rapporto dei limiti delle due funzioni.
A questo punto risulta evidente che se ho una f(x) tale per cui ha limite nella sua x->x' di valore l uguale al limite x->x' di g(x)= l (continue) il rapporto tra i due limiti sarà 1.
il problema mi sorge quando voglio calcolare il lim x->x' f(x)/g(x) a questo punto in teoria (esattamente come quando vado a valutare gli ordini degli infinitesimi nel rapporto) il rapporto tra f(x)/g(x) sotto il limite non dovrebbero indicarmi come risultato quale delle due converge in l più velocemente?
Non capisco in parole povere perché lim x->x' f(x)/g(x) mi dia valore l, in teoria se g(x) converge più lentamente allora il loro rapporto dovrebbe indicarmi che g(x) sta in f(x) sempre meno volte "via via che passo al limite" e quindi mi aspetterei come risultato non 1 bensì 0
Scusate le imprecisioni ma non sapevo come renderlo a parole
Grazie per l'aiuto!
Risposte
Se $f(x)rarrl$ e $g(x)rarrl$ con $linRR-{0}$ allora il limite del loro rapporto va a $1$. Se $l$ è in $RR$ esteso, e in particolare $l=+-oo$ o $l=0$ il loro rapporto dipende dall'ordine di infinito e infinitesimo rispettivamente.
In poche parole il discorso che fai tu vale solo per infiniti e infinitesimi: non si può parlare di ordini altrimenti.
In poche parole il discorso che fai tu vale solo per infiniti e infinitesimi: non si può parlare di ordini altrimenti.
Grazie mile per aver risposto al mio post. Quindi in sostanza limx-x' f(x)/g(x) non valuta il loro comportamento una rispetto all'altra al tendere a x' (come hai ben specificato tu ovviamente nelle ipotesi di avere come risultato per limx->x' fi f(x) il valore reale l e idem per g(x)).
Mi piacerebbe inoltre poter porre la seconda domanda in attesa della conferma o smentita di quanto sopra: in sostanza ho questo dubbio:so che lim x->o sinx*(1/x)= non esiste. Mentre lim x->o x^2=0.
Se avessi: lim x->0 x^2*sinx*(1/x) il suo limite è zero. Mentre se applico la proprietà del prodotto avrei (lim x->o x^2)*(lim x->o sinx*(1/x))= non esiste*0 = non esiste.
Questo accade perché non è rispettata la proprietà di essere continue giusto? Perché solo così posso applicare l'algebra dei limiti.
grazie mille.
PS: scusate per le formule, sto leggendo la guida, purtroppo oggi dovendo studiare non ho avuto tempo ma la prissima formula cercherò di applicare le regole di scrittura al meglio
Grazie per il supporto.
Mi piacerebbe inoltre poter porre la seconda domanda in attesa della conferma o smentita di quanto sopra: in sostanza ho questo dubbio:so che lim x->o sinx*(1/x)= non esiste. Mentre lim x->o x^2=0.
Se avessi: lim x->0 x^2*sinx*(1/x) il suo limite è zero. Mentre se applico la proprietà del prodotto avrei (lim x->o x^2)*(lim x->o sinx*(1/x))= non esiste*0 = non esiste.
Questo accade perché non è rispettata la proprietà di essere continue giusto? Perché solo così posso applicare l'algebra dei limiti.
grazie mille.
PS: scusate per le formule, sto leggendo la guida, purtroppo oggi dovendo studiare non ho avuto tempo ma la prissima formula cercherò di applicare le regole di scrittura al meglio
Grazie per il supporto.
"marcopollo":
Mi piacerebbe inoltre poter porre la seconda domanda in attesa della conferma o smentita di quanto sopra: in sostanza ho questo dubbio:so che lim x->o sinx*(1/x)= non esiste. Mentre lim x->o x^2=0.
Se avessi: lim x->0 x^2*sinx*(1/x) il suo limite è zero. Mentre se applico la proprietà del prodotto avrei (lim x->o x^2)*(lim x->o sinx*(1/x))= non esiste*0 = non esiste.
Questo accade perché non è rispettata la proprietà di essere continue giusto?
No. Semplicemente non sono soddisfatte le ipotesi sul limite del prodotto; la continuità non c'entra.
D'altra parte, sono soddisfatte le ipotesi di quest'altro Teorema (che ti invito a dimostrare):
Siano $X\subseteq RR$ non vuoto, $f,g:X->RR$ ed $x_0$ un punto di accumulazione per $X$.
Se $lim_{x->x_0} f(x)=0$ e se $g$ è limitata intorno ad $x_0$, allora $lim_{x-> x_0} f(x)g(x)=0$.
che ti consente di concludere senza troppi patemi.
"gugo82":
No. Semplicemente non sono soddisfatte le ipotesi sul limite del prodotto; la continuità non c'entra.
Grazie ma mi sfugge quale sia non soddisfatta. Pensavo il fatto che x'=0 non facesse parte del dominio e che quindi non sia valutabile in quel punto e per questo parlavo di non continua.
Quale ipotesi del prodotto non è soddisfatta?
Scusa la domanda stupida ma sto cercando di recuperare un po' la mia preparazione scarsa sui limiti per analisi I qui all'università.
Grazie.
"marcopollo":
[quote="gugo82"]
No. Semplicemente non sono soddisfatte le ipotesi sul limite del prodotto; la continuità non c'entra.
Grazie ma mi sfugge quale sia non soddisfatta. Pensavo il fatto che x'=0 non facesse parte del dominio e che quindi non sia valutabile in quel punto e per questo parlavo di non continua.
Quale ipotesi del prodotto non è soddisfatta?
Scusa la domanda stupida ma sto cercando di recuperare un po' la mia preparazione scarsa sui limiti per analisi I qui all'università.
Grazie.[/quote]
Non ho avuto modo di soffermarmici molto in questi giorni, però mi rimane la domanda cui sopra citata.
Spero in un ulteriore paziente aiuto
Scusa se rispondio con un'altra domanda, ma capirai perché.
Quali sono le ipotesi del Teorema sul limite del rapporto?
Quali sono le ipotesi del Teorema sul limite del rapporto?
Ciao,
allora da quel che so è che deve essere continua, e che la funzione a denominatore non sia zero nel punto che stiamo considerando.
Facendo un passo successivo l'unica cosa che mi pare di vedere è che la funzione $sinx/x$ sia una funzione composta data da una funzione "x" al denominatore. Però quello mi dice solo che non posso spezzarlo in limite del denominatore e limite del numeratore. Ma credo ahimè, sia un passo nella direzione sbagliata rispetto alla quale mi volevi portare
Grazie.
allora da quel che so è che deve essere continua, e che la funzione a denominatore non sia zero nel punto che stiamo considerando.
Facendo un passo successivo l'unica cosa che mi pare di vedere è che la funzione $sinx/x$ sia una funzione composta data da una funzione "x" al denominatore. Però quello mi dice solo che non posso spezzarlo in limite del denominatore e limite del numeratore. Ma credo ahimè, sia un passo nella direzione sbagliata rispetto alla quale mi volevi portare
Grazie.
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